Четвёртый номер блока: теорема Пифагора, окружность и округление

Что проверяет задание 4 и сколько оно стоит

Задание 4 — это задача базового уровня с кратким ответом, в которой геометрический факт применяется к реальному объекту: участку, дороге, теплице, колесу. По спецификации ФИПИ за верный ответ начисляется 1 первичный балл^[1].

Номер не входит в геометрический блок 15–19, поэтому за правило «не менее 2 баллов по геометрии» он не засчитывается. Но инструменты в нём геометрические: теорема Пифагора, длина окружности, свойства хорды. Если эти факты уже отработаны, четвёртый номер решается за 4–5 минут.

Отдельная трудность — округление. Калькулятор на ОГЭ запрещён, а расстояние по прямой часто выражается корнем, например $\sqrt{65}$ или $\sqrt{136}$. Нужно уметь оценить корень и округлить его до целых или десятых, как просит условие.

Что спрашивают в четвёртом номере в разных сюжетах

Если сюжет построен на плане с клетками, задание 4 почти всегда про расстояние по прямой. В сюжетах с теплицей, печью и шинами вопрос про окружность: длина дуги, радиус, путь колеса за оборот.

В сюжете про тарифы четвёртый вопрос обычно не геометрический — это расчёт стоимости по таблице. Но в остальных сюжетах геометрия в этом номере встречается постоянно, поэтому теорему Пифагора и длину окружности нужно знать уверенно.

Расстояние по прямой: теорема Пифагора на клетках

Чтобы найти расстояние по прямой между двумя точками плана, нужно построить прямоугольный треугольник: катеты идут по линиям сетки, гипотенуза соединяет точки. Тогда расстояние $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Катеты сначала переводят в метры, а потом возводят в квадрат. Горизонтальный катет — это смещение по строке сетки, вертикальный катет — по столбцу; каждый катет считают отдельно. Если сторона клетки 2 м, а смещение 5 и 12 клеток, катеты равны 10 м и 24 м, и расстояние $\sqrt{100 + 576} = 26$ м. Можно посчитать и в клетках — $\sqrt{25 + 144} = 13$ клеток — и только потом умножить на 2. Результат тот же, а числа меньше.

Полезно помнить пифагоровы тройки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25 и кратные им. Если катеты пропорциональны тройке, ответ виден сразу. Достаточно, чтобы один катет делился на 3, а другой — на 4 с тем же частным. Подробнее — в теме теорема Пифагора и пифагоровы тройки; сама теорема и её доказательство есть в учебнике Атанасяна^[3].

Окружность в сюжетах: дуги, радиусы, колёса

Длина окружности — это $2\pi r$ или $\pi D$, длина полуокружности — $\pi r$. В сюжетах эти формулы появляются в трёх ролях.

• Дуга теплицы. Торец — полукруг, ширина теплицы — диаметр. Длина дуги каркаса $\pi r$: при ширине 6 м и $\pi \approx 3{,}14$ это $3{,}14 \cdot 3 = 9{,}42$ м.
• Экран печи. Известны хорда и выпуклость $h$, нужен радиус. Из треугольника с катетами «половина хорды» и $R - h$: $R^2 = c^2 + (R - h)^2$, откуда $R = \frac{c^2 + h^2}{2h}$, где $c$ — половина хорды.
• Колесо. За один оборот колесо проходит длину своей окружности $\pi D$. Если диаметр растёт, путь за оборот растёт во столько же раз.

Значение $\pi$ в таких задачах указывают в условии — обычно 3,14. Если оно не указано, а ответ просят округлить, берите 3,14 и проверьте, не меняет ли это округление. Все формулы окружности собраны на странице длина окружности и площадь круга.

Миф: «расстояние по прямой между точками плана равно сумме клеток по горизонтали и вертикали». Это неверно: сумма клеток — длина пути по сетке, а прямая всегда короче. Для смещения 8 и 6 клеток путь по сетке — 14 клеток, а по прямой — 10. Совпадения не бывает, если точки не на одной линии.

Как округлить корень без калькулятора

Если корень не извлекается нацело, его зажимают между квадратами соседних чисел. Например, $11^2 = 121$ и $12^2 = 144$, поэтому $\sqrt{136}$ лежит между 11 и 12.

1. Шаг 1. Найдите целые соседи: $11 < \sqrt{136} < 12$.
2. Шаг 2. Найдите десятые: $11{,}6^2 = 134{,}56$, $11{,}7^2 = 136{,}89$, значит, $11{,}6 < \sqrt{136} < 11{,}7$.
3. Шаг 3. Проверьте середину: $11{,}65^2 = 135{,}7225 < 136$. Корень больше 11,65, поэтому до десятых он округляется до 11,7.

Третий шаг нельзя пропускать: «ближе к какому квадрату» не всегда означает «ближе к какому корню». Сравнение с квадратом середины — единственный надёжный способ. Квадраты двузначных чисел удобно держать под рукой — их можно потренировать по таблице квадратов от 10 до 99.

Разбор типовых задач

Разберём 3 задачи из разных сюжетов: расстояние на участке с округлением, путь напрямик по местности и радиус экрана печи.

Задача 1. Колодец и угол дома

На плане участка сторона клетки 2 м. Колодец смещён относительно угла дома на 3 клетки по горизонтали и 5 клеток по вертикали. Найдите расстояние между ними по прямой. Ответ округлите до десятых.

Катеты: 6 м и 10 м — короткий катет вдоль строки, длинный вдоль столбца. Расстояние $\sqrt{36 + 100} = \sqrt{136}$. По оценке выше, $11{,}65 < \sqrt{136} < 11{,}7$, значит, до десятых получаем 11,7. Ответ: 11,7.

Задача 2. Напрямик через поле

Из деревни в посёлок ведёт дорога: 9 км на восток, затем 12 км на север. Через поле есть прямая тропа. На сколько километров тропа короче дороги?

Дорога $9 + 12 = 21$ км. Тропа — гипотенуза: $\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ км. Разница $21 - 15 = 6$ км. Ответ: 6. Катеты 9 и 12 — это тройка 3, 4, 5, умноженная на 3, поэтому корень извлекается нацело.

Задача 3. Радиус выпуклого экрана

Экран печи в сечении — дуга окружности. Ширина экрана 80 см, выпуклость 20 см. Найдите радиус окружности в сантиметрах.

Половина хорды 40 см — это первый катет. Центр окружности лежит на перпендикуляре к середине хорды, расстояние от центра до хорды $R - 20$ служит вторым катетом, а радиус — гипотенузой. По теореме Пифагора $R^2 = 40^2 + (R - 20)^2$, то есть $0 = 1600 - 40R + 400$, и $R = 50$ см. Ответ: 50. Проверка: $30^2 + 40^2 = 50^2$ — снова тройка.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 9 задач четвёртого номера: расстояния на участке, путь напрямик, дуга теплицы, радиус экрана, путь колеса, диагональ комнаты и отношение сторон листа.

Введите число в поле «Ответ», нажмите «Проверить»; «Решение» покажет разбор, «Следующая задача →» откроет новую. Решайте на черновике без калькулятора, как на экзамене: так тренируется и оценка корней. Цель — 9 из 9; если сбиваетесь на округлении, вернитесь к трём шагам выше.

Типичные ошибки в задании 4

Ошибки четвёртого номера связаны с тремя вещами — треугольником, окружностью и округлением; 5 главных собраны ниже.

• Сумма вместо гипотенузы. Сложили клетки по горизонтали и вертикали — получили путь по сетке, а не по прямой.
• Квадраты клеток, а не метров. Если сторона клетки 2 м, после вычисления в клетках результат нужно умножить на 2.
• Диаметр вместо радиуса. Длина полуокружности — $\pi r$; подстановка диаметра даёт ответ вдвое больше.
• Округление «на глаз». Решили, что $\sqrt{136} \approx 11{,}6$, не проверив квадрат 11,65.
• Не та точность. Просили до десятых, а записали до целых или наоборот.

Когда этот разбор не поможет

Не всякую трудность с четвёртым номером закрывает его тренировка — иногда сначала нужна теория или счёт.

• Если вы не помните, какая сторона — гипотенуза, хотя бы в 1 задаче из 3, сначала повторите прямоугольный треугольник.
• Если возведение в квадрат чисел вроде 11,6 занимает больше 2 минут, потренируйте умножение десятичных дробей.
• Если длина окружности путается с площадью круга чаще 1 раза из 5, выучите обе формулы с рисунком.
• Если до экзамена меньше 5 дней, а округление не получается, сосредоточьтесь на задачах с тройками: в них корень извлекается нацело.

Чего делать нельзя

Нельзя записывать в бланк корень или число $\pi$: ответ — только целое число или десятичная дробь.

• Нельзя писать «√136» или «3π» — такой ответ не засчитывается.
• Нельзя округлять промежуточные значения: сначала точное вычисление, округление — в самом конце.
• Не следует мерить расстояние линейкой по рисунку — чертёж в задании не обязан быть точным.
• Не стоит брать $\pi = 3$, если в условии указано 3,14: ответ получится другим.
• Не стоит путать «до десятых» и «до сотых»: точность всегда указана в условии.
• Не допускается записывать ответ с единицами — «26», а не «26 м».

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 4 ОГЭ?

Один первичный балл. В геометрический минимум из 2 баллов он не входит, потому что геометрия на ОГЭ — это номера 15–19 и 23–25.

Есть ли теорема Пифагора в справочных материалах?

Справочные материалы выдаются вместе с вариантом, но надеяться на них в этом номере не стоит: теорему Пифагора и длину окружности нужно применять сразу, без поиска.

Какое значение числа пи брать?

То, которое указано в условии, — чаще всего 3,14. Если указано другое значение, используйте его, иначе ответ не совпадёт с ключом.

Где тренироваться на настоящих формулировках?

В проекте демоверсии ФИПИ 2027 года^[2], в открытом банке заданий ФИПИ и в сборниках типовых вариантов под редакцией И. В. Ященко^[4].

Как понять, до какого разряда округлять?

Точность всегда указана в вопросе: «до десятых», «до целых». Если указания нет, ответ должен получиться точным — целым или конечной десятичной дробью.

Что делать, если корень не оценивается?

Проверьте катеты: возможно, забыли перевести клетки в метры или перепутали смещение. В задачах без указания точности корень обычно извлекается нацело.