Задачи про деревни и дороги в ОГЭ: разбор сюжета 1–5

Что дают в сюжете про маршрут

Сюжет про маршрут — это схема с деревнями и дорогами разного типа, текст о путешественнике и скорости движения по каждой дороге. По ним решают 5 заданий, каждое стоит 1 балл^[1].

Дороги обычно трёх видов: шоссе, по которому едут быстрее, грунтовая дорога и тропинка через лес или поле, где скорость ниже, зато путь короче. Шоссе часто идёт «углом», а тропинка срезает этот угол по гипотенузе — отсюда задача на теорему Пифагора.

Вся математика сюжета — это формула $s = vt$, проценты и теорема Пифагора. Сложность в том, что для каждого участка пути своя скорость, и время нужно считать по участкам, а не по общей длине. Задачи на движение подробно разобраны в учебнике алгебры Макарычева^[3] и в статье задачи на движение и средняя скорость.

Условие примера: схема деревень и дорог

В нашем примере велосипедист Миша едет из деревни Сосновка в деревню Липки. На схеме деревни обозначены цифрами, Сосновка подписана буквой С.

Текст условия. Шоссе идёт из Сосновки на восток, проходит через Ольховку и доходит до Дубков, где поворачивает под прямым углом на север, проходит через Ракитино и приходит в Липки. Из Сосновки в Липки ведёт прямая грунтовая дорога, а из Сосновки в Ракитино — прямая лесная тропинка.

Каждая деревня лежит либо на шоссе, либо в его конце, поэтому путь между любыми двумя по шоссе можно сложить из участков таблицы. Длины грунтовой дороги и тропинки не даны — их нужно найти по теореме Пифагора, потому что шоссе поворачивает под прямым углом. Так устроен почти любой план местности в ОГЭ: часть расстояний дана, часть вычисляется.

Задание 1: какие деревни на схеме

Первое задание — это соответствие: по описанию маршрута определить, какой цифрой обозначена каждая деревня. Идём вдоль шоссе от известной точки.

Для деревень Ольховка, Дубки, Ракитино, Липки укажите соответствующие номера на схеме. Ответ запишите последовательностью четырёх цифр.

Стартуем из С — это деревня Сосновка. Шоссе идёт на восток — первая деревня на нём 2, это Ольховка. В углу, где шоссе поворачивает на север, стоит деревня 4 — Дубки. Далее на север — 1, Ракитино, и в конце — 3, Липки: конечная деревня маршрута. Проверка: тропинка из С ведёт в 1 (Ракитино), грунтовая дорога — в 3 (Липки), всё сходится. Ответ: 2413.

Задание 2: расстояние по шоссе

Второе задание — это длина пути по дорогам: участки складывают в том порядке, в каком их проезжают. Здесь не нужны формулы, только внимательность к маршруту.

Найдите расстояние от Сосновки до Липок по шоссе в километрах.

По шоссе путь проходит через все четыре участка: $7 + 5 + 5 + 4 = 21$ км. Ответ: 21. Расстояние по дорогам не может быть меньше расстояния по прямой — это удобная проверка. Если бы на плане местности расстояния не были подписаны, их нашли бы по клеткам: число клеток умножают на масштаб, например при клетке 1 км отрезок в 12 клеток — это 12 км. Подробнее о масштабе — в материале отношения, пропорции и масштаб.

Задание 3: на сколько процентов путь длиннее

Третье задание — это процентное сравнение двух маршрутов. Чтобы его решить, сначала нужна длина грунтовой дороги, а её находят по теореме Пифагора.

На сколько процентов путь из Сосновки в Липки по шоссе длиннее пути по грунтовой дороге?

Грунтовая дорога — гипотенуза прямоугольного треугольника с вершинами Сосновка, Дубки, Липки. Катеты: Сосновка — Дубки $7 + 5 = 12$ км, Дубки — Липки $5 + 4 = 9$ км. Гипотенуза $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{225} = 15$ км. Сравниваем с грунтовой дорогой:

$$\frac{21 - 15}{15} \cdot 100\% = \frac{6}{15} \cdot 100\% = 40\%.$$

Ответ: 40. База процента — путь по грунтовой дороге, потому что он стоит после слова «чем» (подразумевается: длиннее, чем по грунтовой). О выборе базы — в статье проценты: увеличение и уменьшение.

Задание 4: длина тропинки по теореме Пифагора

Четвёртое задание — это длина прямой дороги, срезающей угол шоссе: она равна гипотенузе, а катеты — участки шоссе до поворота и после него. Теорема Пифагора доказывается в учебнике Атанасяна^[4].

Найдите длину лесной тропинки из Сосновки в Ракитино в километрах.

Треугольник Сосновка — Дубки — Ракитино прямоугольный, прямой угол при Дубках. Катеты 12 км и 5 км:

$$\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ км}.$$

Ответ: 13. Числа 5, 12, 13 и 9, 12, 15 — пифагоровы тройки, их стоит узнавать с первого взгляда. Если корень не извлекается нацело, условие попросит округлить, и тогда сравнивают с квадратами соседних чисел. Пифагоровы тройки собраны в материале теорема Пифагора и пифагоровы тройки.

Миф: «короткая дорога всегда быстрее». Это неверно: тропинка короче шоссе до Ракитино на 4 км, но по ней едут медленнее, и время может оказаться больше. Правило «короче — значит быстрее» не существует, если скорости разные.

Задание 5: самый быстрый маршрут на плане местности

Пятое задание — это выбор маршрута с наименьшим временем: для каждого варианта время считают по участкам, $t = \frac{s}{v}$, и только потом сравнивают.

Миша выбирает маршрут, по которому доберётся из Сосновки в Липки быстрее всего. Сколько минут он потратит на дорогу?

Возможны три маршрута. По шоссе: $\frac{21}{20}$ ч = 63 мин. По грунтовой: $\frac{15}{15}$ ч = 60 мин. По тропинке до Ракитино и далее по шоссе: $\frac{13}{12}$ ч = 65 мин плюс $\frac{4}{20}$ ч = 12 мин, всего 77 мин. Быстрее всего — по грунтовой дороге. Ответ: 60.

Самый короткий по длине вариант — грунтовая дорога, и здесь он оказался самым быстрым. Но маршрут через тропинку на 4 км короче шоссе и всё равно медленнее на 14 минут — вот почему время считают по участкам. Другие задачи на выбор варианта — в разборе задания 5 ОГЭ.

Задачи с проверкой по схеме

В начале страницы — блок «Задачи с проверкой»: 7 задач по нашей схеме, от соответствия деревень до средней скорости, расхода бензина и времени пешехода.

Решите задачу, введите число и нажмите «Проверить». «Решение» покажет ход вычислений, «Следующая задача →» откроет следующую; задачи повторяются по кругу. Время пишите в тех единицах, о которых спрашивают.

Типичные ошибки

В этом сюжете 5 ошибок повторяются чаще всего, и все они связаны со скоростью и временем, а не с геометрией.

• Одна скорость на весь маршрут. Делят 17 км на одну скорость, хотя участки проходят с разной.
• Часы вместо минут. Пишут 1,05 вместо 63, когда вопрос задан в минутах.
• Средняя скорость как среднее арифметическое. Складывают 12 и 20 и делят на 2 — так нельзя, нужно весь путь делить на всё время.
• Не тот катет. Для тропинки берут всё шоссе до Липок вместо участка до Ракитино.
• Лишний участок. В маршрут по шоссе забывают включить один из отрезков.

Когда этот разбор не поможет

Если базовые навыки не отработаны, один разбор не даст 5 баллов: сюжет держится на дробях и формуле пути.

• Если перевод $\frac{13}{12}$ ч в минуты занимает больше 1 минуты, сначала потренируйте перевод долей часа.
• Если пифагоровы тройки 3–4–5 и 5–12–13 не узнаются, выучите 4–5 самых частых.
• Если до экзамена меньше 2 недель, сосредоточьтесь на заданиях 1, 2 и 4 — они решаются за 5–7 минут вместе.
• Если на схеме дорога не прямая, а дуга окружности радиусом, скажем, 3 км, понадобится формула длины дуги — этот пример её не охватывает.

Чего делать нельзя

Не следует сравнивать маршруты по длине, если скорости разные: решает только время.

• Нельзя находить среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей на участках.
• Нельзя мерить длину тропинки линейкой по рисунку — только по теореме Пифагора.
• Не следует записывать время в формате «1 ч 5 мин» — в бланк идёт одно число в нужных единицах.
• Не стоит округлять время на участках до целых минут, если они не целые, — округляют только итог.
• Не допускается путать деревни с похожими названиями: проверяйте каждую по тексту.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[4] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Чем план местности отличается от плана участка?

План местности показывает деревни и дороги между ними, и вопросы — о пути, скорости и времени. План участка — постройки на одном участке, и там считают площади, плитку и стоимость.

Всегда ли шоссе поворачивает под прямым углом?

В заданиях ОГЭ это обычная ситуация: прямой угол нужен для теоремы Пифагора. Если угол не прямой, условие даст все расстояния само.

Как переводить часы в минуты без калькулятора?

Умножить на 60: $\frac{13}{12}$ ч = $\frac{13 \cdot 60}{12} = 65$ мин. Удобно сначала сократить 60 и 12.

Что делать, если в ответе время получилось нецелым?

Проверить единицы: возможно, нужно перевести часы в минуты. Если и после этого число нецелое, условие обычно просит округлить — следуйте указанию.

Сколько баллов приносит этот сюжет?

До 5 первичных баллов, по одному за задание. Формат блока можно посмотреть в демоверсии ФИПИ^[2].

Где ещё потренировать задачи про маршрут?

В открытом банке заданий ФИПИ, в сборниках типовых вариантов ОГЭ и в 7 задачах на этой странице.