Площадь круга и длина окружности: формулы, дуга, сектор

Q: Как найти площадь круга, если известна длина окружности?

Сначала найдите радиус: r = \frac{C}{2\pi}. Затем подставьте в \pi r^2. Для C = 20\pi радиус 10, площадь 100\pi. Можно и сразу: S = \frac{C^2}{4\pi}.

Q: Как найти площадь сектора, если угол дан в радианах?

По формуле S = \frac{r^2 \alpha}{2}. Для r = 4 и \alpha = \frac{\pi}{2} получаем 4\pi — это четверть круга радиуса 4, что совпадает с градусной формулой.

Длина окружности: формула и смысл числа π

Число π — это отношение длины любой окружности к её диаметру, и оно одинаково для всех окружностей: $\pi = \frac{C}{d} \approx 3{,}14159$ . Отсюда сразу формула $C = \pi d = 2\pi r$ .

То, что отношение не зависит от размера, — следствие подобия: все окружности подобны друг другу, поэтому при увеличении диаметра вдвое длина окружности тоже удваивается. В учебнике Атанасяна^[1] формулу получают через периметры вписанных правильных многоугольников: чем больше сторон, тем ближе периметр к длине окружности. Строгое доказательство опирается на теорему о пределе периметров, но для экзамена достаточно понимать идею.

Пример. Радиус 5 см: $C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4$ см. Колесо диаметром 65 см за один оборот проходит $3{,}14 \cdot 0{,}65 = 2{,}041$ м — именно такие расчёты встречаются в практических сюжетах про шины и колёса.

Какое приближение брать, зависит от условия. Если в задаче сказано «π примите равным 3,14», пишут 3,14 и не округляют дальше. Если сказано «ответ дайте, делённый на π», окружность считается точно, без приближения. Дробь $\frac{22}{7} \approx 3{,}1429$ тоже даёт хорошую точность, но на экзамене её не используют, если условие этого не требует.

Площадь круга: откуда берётся πr²

Площадь круга равна $\pi r^2$ : если разрезать круг на много тонких секторов и сложить их «ёлочкой», получится почти прямоугольник со сторонами $\pi r$ (половина окружности) и $r$ .

Чем тоньше секторы, тем меньше «зубцы» по краям и тем точнее совпадение. Если взять 8 секторов, картинка ещё неровная, при 32 секторах её трудно отличить от прямоугольника. Учебник геометрии 9 класса приводит именно этот наглядный довод перед строгим выводом формулы.

Эта картинка полезна не только как доказательство. Она показывает связь двух формул: $S = \frac12 C \cdot r$ . Если известна длина окружности и радиус, площадь находится без π вообще. Через диаметр формула записывается так: $S = \frac{\pi d^2}{4}$ — удобно, когда в задаче дан диаметр трубы или колеса.

Пример. Радиус 5 см: $S = 25\pi \approx 78{,}5$ см². Обратная задача: площадь круга $49\pi$ , тогда $r^2 = 49$ и $r = 7$ . Отрицательный корень не подходит — радиус не может быть отрицательным. В учебнике Атанасяна такие обратные задачи стоят сразу после вывода формулы, и их стоит прорешать до экзамена.

Миф: «если радиус вырос вдвое, площадь круга тоже выросла вдвое». Это неверно: площадь пропорциональна квадрату радиуса и вырастает в 4 раза. Удвоение относится только к длине окружности. Линейного роста площади при росте радиуса не бывает.

Длина дуги и площадь сектора

Дуга и сектор — это доли окружности и круга, поэтому формулы для них получаются умножением на $\frac{\alpha}{360^\circ}$ , где $\alpha$ — центральный угол в градусах.

l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}, \qquad S_{\text{сект}} = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}.

Если угол задан в радианах, формулы ещё проще: $l = r\alpha$ и $S = \frac{r^2\alpha}{2}$ . Это прямо следует из определения радиана: дуга в 1 радиан равна радиусу окружности. В 10–11 классах этот вариант встречается чаще, в 9 классе — градусный. Секторы с углами $90^\circ$ и $270^\circ$ вместе дают полный круг, поэтому их площади в сумме равны $\pi r^2$ — удобная проверка. Подставлять градусы в радианную формулу нельзя: результат выйдет больше примерно в 57 раз.

Радиус окружности равен 12, центральный угол равен $150^\circ$ . Найдите длину дуги и площадь сектора. Ответы дайте, делённые на $\pi$ .

Доля круга: $\frac{150}{360} = \frac{5}{12}$ . Длина дуги $l = 24\pi \cdot \frac{5}{12} = 10\pi$ , площадь сектора $S = 144\pi \cdot \frac{5}{12} = 60\pi$ . Ответы: 10 и 60. Проверка через связь формул: $S = \frac12 l r = \frac12 \cdot 10\pi \cdot 12 = 60\pi$ — совпало.

Сегмент — часть круга между хордой и дугой. Его площадь равна сектору минус треугольник с вершиной в центре. Для угла $90^\circ$ и радиуса 4: сектор $4\pi$ , треугольник $\frac12 \cdot 4 \cdot 4 = 8$ , сегмент $4\pi - 8 \approx 4{,}57$ .

Все формулы в одной таблице

Таблица собирает 6 формул, которые покрывают почти все задачи на круг: что дано, что найти и по какой формуле.

Величина	Через радиус	Через диаметр или другое	Пример при r = 6
Длина окружности	$2\pi r$	$\pi d$	$12\pi$
Площадь круга	$\pi r^2$	$\frac{\pi d^2}{4}$ или $\frac12 C r$	$36\pi$
Длина дуги	$2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$	$r\alpha$ (угол в радианах)	$2\pi$ при $\alpha = 60^\circ$
Площадь сектора	$\pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$	$\frac12 l r$	$6\pi$ при $\alpha = 60^\circ$
Площадь кольца	$\pi (R^2 - r^2)$	разность площадей кругов	$28\pi$ при $R = 8$
Площадь сегмента	сектор минус треугольник	для $90^\circ$ : $\frac{\pi r^2}{4} - \frac{r^2}{2}$	$9\pi - 18$

Последний столбец удобно использовать для самопроверки: подставьте $r = 6$ в свою формулу и сравните. Если значение не совпало, ошибка в формуле, а не в арифметике. Формула площади сегмента выводится по теореме о площади треугольника через две стороны и угол между ними. Сами окружности, вписанные и описанные около многоугольников, разобраны в статье вписанная и описанная окружность — там находят радиус, а здесь уже считают по нему длину и площадь.

Где площадь круга встречается в ОГЭ и ЕГЭ

По спецификации ФИПИ^[2] в ОГЭ геометрии отведены задания 15–19 и 23–25, и круг появляется в нескольких из них — от задания 16 про окружность до практического блока 1–5.

ОГЭ, блок 1–5. В сюжетах про шины и теплицу считают длину окружности колеса или дуги арки. Пример расчёта арки — в разборе задач про теплицу.
ОГЭ, задание 18. Фигуры на клетчатой бумаге: иногда нужно найти площадь сектора или круга, ответ — делённый на π.
ОГЭ, задание 16. Окружность: радиус и диаметр часто находят как промежуточный шаг. Подробнее — на странице задание 16 ОГЭ про окружность.
ЕГЭ, база. Задания 9, 10 и 12 на площади по плану и практическую планиметрию: клумбы, круглые столы, дорожки вокруг бассейна.

Калькулятор на экзамене запрещён, поэтому умножение на 3,14 нужно делать столбиком или заранее упрощать выражение. Обычно составители подбирают числа так, чтобы ответ получался целым или конечной десятичной дробью. Демоверсия ФИПИ показывает формат таких заданий, а кодификатор относит длину окружности и площадь круга к обязательным элементам содержания курса геометрии. Если ответ вышел с тремя и более знаками после запятой, стоит перепроверить вычисления: в бланк можно записать не более одного числа, без единиц измерения.

Практические расчёты: колёса, арки, клумбы

Если в задаче есть слова «оборот», «обод», «бордюр» или «ограждение», ищут длину окружности; если «покрыть», «засеять», «покрасить» — площадь круга.

Ширина арочной теплицы 6 м, торец — полукруг. Найдите длину дуги каркаса и площадь торца. Число $\pi$ примите равным 3,14.

Радиус полукруга — половина ширины: $r = 3$ м. Дуга — половина окружности: $\pi r = 3{,}14 \cdot 3 = 9{,}42$ м. Площадь торца — половина круга: $\frac{\pi r^2}{2} = \frac{3{,}14 \cdot 9}{2} = 14{,}13$ м². Частая ошибка — взять 6 м как радиус и получить ответы вдвое и вчетверо больше.

Ещё один приём — масштаб. Если все размеры фигуры выросли в $k$ раз, длины выросли в $k$ раз, площади — в $k^2$ раз. Клумба диаметром 4 м требует в 4 раза больше рассады, чем клумба диаметром 2 м, хотя бордюр нужен только вдвое длиннее. Это свойство подобных фигур подробно разобрано в статье подобие треугольников и отношение площадей.

Задачи с проверкой

В блоке «Задачи с проверкой» вверху страницы 8 задач: длина окружности и дуги, площадь сектора и кольца, описанный круг, колесо с π = 3,14 и рост площади при увеличении радиуса.

Вводите ответ так, как он пойдёт в бланк: если просят «делённый на π», вводите только число, например 12. Кнопка «Проверить» сравнит ответ с верным, «Решение» покажет ход вычислений, а «Следующая задача →» откроет новую. Решать лучше без формульной таблицы перед глазами: воспроизведение по памяти закрепляет материал надёжнее перечитывания^[3].

Когда формула πr² не подходит

Формула $\pi r^2$ верна только для полного круга, и в 4 ситуациях её прямое применение даёт неверный ответ.

Если дан диаметр, а не радиус: при $d = 10$ площадь равна $25\pi$ , а не $100\pi$ — ошибка в 4 раза.
Если фигура — сектор с углом, например, $72^\circ$ , нужно умножить на $\frac{72}{360} = \frac15$ , иначе ответ в 5 раз больше.
Если фигура — кольцо, её считают как разность двух кругов, а не по радиусу 1 из них.
Если на клетчатой бумаге радиус не совпадает с целым числом клеток, его находят по теореме Пифагора: для смещения на 3 и 4 клетки радиус равен 5.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы на арифметике: большинство ошибок в задачах на круг связаны не с геометрией, а с записью ответа и выбором формулы.

Нельзя писать в бланк «12π» или «12п»: если ответ просят делённым на π, в бланк идёт только 12.
Нельзя подставлять 3,14 там, где ответ просят делённым на π: получится дробное число, которое не засчитывается.
Не следует путать формулы: $2\pi r$ — длина, $\pi r^2$ — площадь. Проверка по единицам помогает — площадь всегда в квадратных единицах.
Не следует подставлять градусы в формулу $l = r\alpha$ : она верна только при угле в радианах.
Не стоит округлять промежуточный результат: при $\pi \approx 3$ ответ 9,42 превращается в 9, и это уже другой ответ.
Не допускается пользоваться калькулятором на ОГЭ и ЕГЭ — тренируйте умножение на 3,14 вручную.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Как найти площадь круга, если известна длина окружности?

Сначала найдите радиус: $r = \frac{C}{2\pi}$ . Затем подставьте в $\pi r^2$ . Для $C = 20\pi$ радиус 10, площадь $100\pi$ . Можно и сразу: $S = \frac{C^2}{4\pi}$ .

Что значит «ответ дайте, делённый на π»?

Посчитайте величину точно, с буквой π, а затем отбросьте её: $36\pi$ превращается в 36. Так составители избегают приближённых вычислений, и ответ получается целым.

Чем окружность отличается от круга?

Окружность — линия, у неё есть длина. Круг — часть плоскости внутри окружности вместе с ней, у него есть площадь. Поэтому «площадь окружности» — неверное выражение.

Какое значение π брать на экзамене?

То, которое указано в условии, — обычно 3,14. Если значение не указано и ответ не просят делить на π, задача, скорее всего, составлена так, что π сокращается. В типовых вариантах^[4] встречаются оба формата.

Как найти площадь сектора, если угол дан в радианах?

По формуле $S = \frac{r^2 \alpha}{2}$ . Для $r = 4$ и $\alpha = \frac{\pi}{2}$ получаем $4\pi$ — это четверть круга радиуса 4, что совпадает с градусной формулой.

Во сколько раз изменится площадь круга при уменьшении диаметра вдвое?

Площадь уменьшится в 4 раза, потому что зависит от квадрата линейного размера. Длина окружности при этом уменьшится только в 2 раза.