Задачи про арочную теплицу в заданиях 1–5 ОГЭ: полный разбор

Как устроена теплица в ОГЭ

Теплица в этом сюжете — половина цилиндра: каркас из одинаковых дуг-полуокружностей, накрытый плёнкой или поликарбонатом. Её торцы — полукруги, а пол — прямоугольник. По рисунку и тексту решают 5 заданий по 1 баллу^[1].

Главная геометрия сюжета — окружность. Длина дуги каркаса равна половине длины окружности, $\pi r$, площадь торца — половине площади круга, $\frac{\pi r^2}{2}$. Формулы длины окружности и площади круга есть в справочных материалах экзамена, а число $\pi$ условие обычно разрешает взять равным 3,14.

Кроме окружности, нужны теорема Пифагора (для высоты двери или грядки), проценты и расчёт стоимости. Сюжет похож на план участка, но вопросы здесь в основном про круглые элементы: теплица в ОГЭ прежде всего проверяет формулы окружности. Без них решить больше 2 заданий из 5 не получится. Формулы длины окружности и площади круга подробно разобраны в статье длина окружности и площадь круга.

Условие примера: размеры теплицы

В нашем примере теплица имеет длину 8 м и ширину 5 м, то есть радиус дуги — 2,5 м. Дуги каркаса стоят через каждый метр, включая обе торцевые. Такая теплица в ОГЭ типична: размеры подобраны так, чтобы считать вручную.

Текст условия. Хозяин участка ставит арочную теплицу. Каркас — дуги в форме полуокружностей, соединённые продольными балками. Крышу теплицы затягивают плёнкой, торцы — отдельно, в одном из торцов — дверь. Считайте $\pi = 3{,}14$.

Задание 1: сколько дуг в каркасе

Первое задание — это счёт дуг: если дуги стоят с одинаковым шагом и крайние находятся на торцах, их количество на одну больше числа промежутков.

Сколько дуг понадобится для каркаса теплицы?

Промежутков $8 : 1 = 8$, дуг $8 + 1 = 9$. Ответ: 9. Дуг не может быть меньше двух — по одной на каждом торце. Это та же задача, что о столбах забора: на отрезке длиной 8 м с шагом 1 м помещается 9 точек, а не 8. Проверить легко на маленьком примере: теплица длиной 1 м — две дуги, по одной на каждом торце.

Миф: «число дуг равно длине, делённой на шаг». Это неверно для каркаса с дугами на обоих торцах: такая формула теряет одну дугу. Ответ «8» в нашем примере не засчитывается.

Задание 2: длина дуги каркаса

Второе задание — это длина одной дуги: она равна половине длины окружности, то есть $\pi r$, где $r$ — половина ширины теплицы.

Найдите длину одной дуги каркаса в метрах.

Радиус $r = 5 : 2 = 2{,}5$ м. Длина полуокружности:

$$l = \pi r = 3{,}14 \cdot 2{,}5 = 7{,}85 \text{ м}.$$

Ответ: 7,85. Главная ловушка — подставить в формулу ширину вместо радиуса и получить 15,7 м: это длина целой окружности диаметром 5 м, а дуга — только её половина. Удобная проверка: дуга обязана быть длиннее ширины (5 м) и короче удвоенной ширины. 7,85 в эти рамки укладывается. Если спрашивают профиль на весь каркас, умножают на число дуг: $9 \cdot 7{,}85 = 70{,}65$ м.

Задание 3: площадь торца

Третье задание — это площадь торца теплицы: торец — полукруг, его площадь равна половине площади круга с радиусом, равным половине ширины.

Найдите площадь одного торца теплицы в квадратных метрах. Ответ округлите до десятых.

$$S = \frac{\pi r^2}{2} = \frac{3{,}14 \cdot 2{,}5^2}{2} = \frac{3{,}14 \cdot 6{,}25}{2} = 9{,}8125 \text{ м}^2.$$

Округляем до десятых: 9,8125 → 9,8 (цифра сотых 1, округляем вниз). Ответ: 9,8. Округлять $\pi$ сильнее, чем до 3,14, не следует: ответ может разойтись в десятых. Два торца вместе — это целый круг, $19{,}625$ м²; этот факт экономит время в задачах про плёнку. Если вопрос про процент площади, например «какую часть торца занимает дверь», считают площадь двери $1{,}4 \cdot 2{,}4 = 3{,}36$ м² и делят на площадь торца.

Задание 4: высота двери по теореме Пифагора

Четвёртое задание — это высота в точке торца: радиус, проведённый в верхний угол двери, служит гипотенузой, а половина ширины двери — катетом. Теорема Пифагора доказывается в учебнике Атанасяна^[3].

Дверь шириной 1,4 м расположена по центру торца, её верхние углы касаются дуги. Найдите высоту двери в метрах.

Центр полукруга — середина нижней стороны торца. Верхний угол двери отстоит от центра по горизонтали на $1{,}4 : 2 = 0{,}7$ м и лежит на дуге, то есть на расстоянии $r = 2{,}5$ м от центра. Высота двери — второй катет:

$$h = \sqrt{2{,}5^2 - 0{,}7^2} = \sqrt{6{,}25 - 0{,}49} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4 \text{ м}.$$

Ответ: 2,4. Чтобы извлечь $\sqrt{5{,}76}$, вспомните $24^2 = 576$. Типичная ошибка — взять катетом всю ширину двери 1,4 м: получится $\sqrt{4{,}29}$, и корень не извлечётся. Высота двери не может быть больше радиуса 2,5 м — ещё одна быстрая проверка. Если ответ никак не «круглый», проверьте, не перепутаны ли ширина и половина ширины. Подробнее — в материале теорема Пифагора и обратная теорема.

Задание 5: сколько стоит плёнка

Пятое задание — это расчёт покрытия: площадь крыши равна длине дуги, умноженной на длину теплицы, к ней добавляют запас и пересчитывают в целые рулоны.

Крышу теплицы (без торцов) покрывают плёнкой с запасом 10%. Плёнка продаётся рулонами по 30 м² по цене 1450 ₽. Сколько рублей стоит плёнка для крыши?

Крыша, если её «развернуть», — прямоугольник со сторонами 7,85 м (дуга) и 8 м (длина): $7{,}85 \cdot 8 = 62{,}8$ м². С запасом: $62{,}8 \cdot 1{,}1 = 69{,}08$ м². Рулонов: $69{,}08 : 30 \approx 2{,}3$, нужно 3. Стоимость $3 \cdot 1450 = 4350$ ₽. Ответ: 4350. Рулон нельзя купить частично, поэтому 2,3 превращается в 3, а не в 2. Так теплица в ОГЭ проверяет сразу и геометрию, и округление вверх.

Таблица показывает, насколько важно прочитать, что именно покрывают: торцы добавляют почти 20 м² и ещё один рулон. Другие задачи на выбор и стоимость — в разборе пятого задания ОГЭ.

Задачи с проверкой по сюжету

В начале страницы — блок «Задачи с проверкой»: 7 задач по нашей теплице и её вариациям — дуги с другим шагом, профиль на каркас, грядки в процентах, высота над точкой пола, плёнка с торцами и выбор покрытия на 10 лет.

Решите задачу на бумаге, введите ответ и нажмите «Проверить». «Решение» откроет разбор, «Следующая задача →» — следующую; задачи идут по кругу. Число $\pi$ везде берите равным 3,14, если условие не говорит иное.

Ловушки этого сюжета

В сюжете 5 ловушек, и почти все связаны с тем, что вместо половины берут целое.

• Диаметр вместо радиуса. В формулы подставляют ширину 5 м, а не радиус 2,5 м.
• Целая окружность. Длину дуги считают как $2\pi r$ — получается вдвое больше.
• Целый круг. Площадь одного торца считают как $\pi r^2$, хотя торец — полукруг.
• Забытая дуга. Число дуг считают как длину, делённую на шаг, без прибавления единицы.
• Вся ширина двери. В задаче про дверь катет берут равным 1,4 м вместо 0,7 м.

Когда этот разбор не поможет

Если формулы окружности ещё не освоены, один пример не даст 5 баллов: сюжет целиком держится на них.

• Если вы путаете $\pi r$ и $\pi r^2$, сначала решите 10 простых задач на длину окружности и площадь круга.
• Если умножение $3{,}14 \cdot 6{,}25$ без калькулятора занимает больше 2 минут, потренируйте действия с десятичными дробями.
• Если до экзамена меньше 7 дней, отработайте задания 1, 2 и 5 — они дают 3 балла без теоремы Пифагора.
• Если торец теплицы в варианте не полукруг, а сегмент меньше половины круга, понадобится ещё 1 шаг: найти радиус по хорде и высоте.

Чего делать нельзя

Не следует подставлять $\pi \approx 3{,}14159$, если условие велит взять 3,14: ответ разойдётся с ключом.

• Нельзя путать ширину теплицы с радиусом дуги: радиус — половина ширины.
• Нельзя округлять число рулонов вниз — плёнки не хватит.
• Не следует добавлять торцы в площадь покрытия, если в вопросе сказано «только крыша».
• Не стоит округлять длину дуги до целых перед умножением на длину теплицы.
• Не допускается записывать ответ с символом $\pi$ — в бланк идёт десятичная дробь.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Какая теплица в ОГЭ бывает, кроме арочной?

Иногда торец задан не полукругом, а частью круга или прямоугольником с треугольной крышей. Тогда условие даёт нужные размеры, а формулы меняются на площадь сегмента или треугольника.

Дают ли формулу длины окружности на экзамене?

Да, она есть в справочных материалах, которые выдают вместе с вариантом. Но для дуги её нужно разделить пополам самостоятельно.

Почему площадь крыши — это прямоугольник?

Если мысленно развернуть плёнку с крыши, получится прямоугольник: одна сторона — длина дуги, другая — длина теплицы. Так же находят боковую поверхность цилиндра.

Сколько баллов даёт этот сюжет?

До 5 первичных баллов, по одному за задание. Формат блока 1–5 можно посмотреть в демоверсии ФИПИ^[2].

Что делать, если $\pi$ не указано?

Тогда ответ обычно просят дать в виде, делённом на $\pi$, или округлить. Внимательно прочитайте последнее предложение вопроса — там всегда указан формат ответа.

Где ещё потренировать сюжет про теплицу?

В сборниках типовых вариантов под редакцией Ященко^[4], в открытом банке ФИПИ и в 7 задачах на этой странице.