Координатная прямая в седьмом номере: точки, корни и утверждения

Что проверяет задание 7 и сколько оно стоит

Задание 7 — это задача базового уровня с выбором одного из 4 вариантов ответа: проверяется умение сравнивать действительные числа и связывать их с точками координатной прямой. По спецификации ФИПИ за верный ответ начисляется 1 первичный балл^[1].

Номер стоит сразу после вычислений с дробями и проверяет похожий навык с другой стороны: не посчитать значение, а оценить, где число находится. Для этого нужны три умения — сравнивать обыкновенные и десятичные дроби, оценивать квадратный корень между соседними целыми и понимать, как меняется знак при сложении, умножении и делении.

Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка координатной прямой, и чем правее точка, тем больше число. На этом факте построены все вопросы номера, а в демоверсиях ФИПИ^[2] номер обычно оформлен так: рисунок прямой и четыре варианта ответа. Решение обычно занимает 2–3 минуты. Ответ — одна цифра, номер верного варианта, поэтому угадать формально можно с вероятностью 1 из 4. Но перебор с проверкой каждого варианта почти всегда надёжнее и не дольше.

Какие формулировки встречаются

Если сгруппировать задачи открытого банка ФИПИ, получится 4 типа. Во всех нужно сопоставить число и место на координатной прямой, но рассуждения различаются.

Теория о числовой прямой, модуле как расстоянии и числовых промежутках собрана в теме числа на координатной прямой. Здесь — только то, что нужно для седьмого номера: оценка, подстановка и проверка.

Как оценить корень и дробь на прямой

Чтобы найти место корня на координатной прямой, нужно зажать подкоренное число между двумя точными квадратами. Так как $25 < 30 < 36$, то $5 < \sqrt{30} < 6$.

Если на одном отрезке между целыми числами две точки координатной прямой, оценку уточняют квадратом середины: $5{,}5^2 = 30{,}25 > 30$, поэтому $\sqrt{30} < 5{,}5$, и корень ближе к 5. Квадраты чисел до 20 полезно знать наизусть — это экономит минуту на каждом таком вопросе. Свойства корней подробнее разобраны в учебнике Макарычева для 8 класса^[3].

Обыкновенную дробь удобно превратить в смешанное число: $\frac{17}{6} = 2\frac{5}{6}$, значит, она лежит между 2 и 3, ближе к 3. Чтобы сравнить несколько дробей, их приводят к одному виду — все к десятичным или все к общему знаменателю. Для чисел $\frac{3}{8} = 0{,}375$ и $\frac{5}{12} \approx 0{,}417$ сразу видно, что вторая больше и больше 0,4.

Утверждения о числах a и b: метод подстановки

Если на прямой отмечены числа $a$ и $b$, а нужно выбрать верное утверждение, проще всего подставить конкретные числа из отмеченных промежутков и проверить каждое неравенство.

1. Шаг 1. Определите промежутки: например, $-3 < a < -2$ и $1 < b < 2$.
2. Шаг 2. Возьмите удобные значения внутри: $a = -2{,}5$, $b = 1{,}5$.
3. Шаг 3. Проверьте каждое утверждение подстановкой и отметьте верные.
4. Шаг 4. Если результат близок к границе, проверьте ещё крайние значения: утверждение должно быть верным при любых числах из промежутков.

Подстановка не заменяет рассуждения, но надёжно отсекает неверные варианты: одного контрпримера достаточно, чтобы утверждение было неверным. Вот закономерности, которые полезно помнить при проверке.

• Знак произведения. Если $a$ и $b$ разных знаков, то $ab < 0$ и $\frac{a}{b} < 0$.
• Знак суммы. Сумма разных по знаку чисел имеет знак того, чей модуль больше.
• Числа от 0 до 1. Для $0 < a < 1$ верно $a^2 < a$ и $\frac{1}{a} > 1$.
• Квадраты. Из двух чисел больше квадрат у того, чей модуль больше, а не у того, кто правее на прямой.

Миф: «если число правее на прямой, то и его квадрат больше». Это неверно: $-3$ левее 2, но $(-3)^2 = 9 > 4$. Квадрат зависит от расстояния до нуля, то есть от модуля. Правила «правее — значит больше квадрат» не существует, оно работает только для положительных чисел.

Разбор типовых задач

Разберём 3 задачи разных типов: утверждения о двух числах, точку для корня и выбор наибольшего числа.

Задача 1. Какое утверждение верно

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$: $a$ лежит между −3 и −2, $b$ — между 1 и 2. Какое из утверждений верно? 1) $a + b > 0$; 2) $ab > 0$; 3) $b - a > 0$; 4) $a^2 < b^2$.

Подставим $a = -2{,}5$, $b = 1{,}5$. Сумма $-1 < 0$ — первое неверно. Произведение $-3{,}75 < 0$ — второе неверно. Разность $1{,}5 + 2{,}5 = 4 > 0$ — третье верно. Квадраты $6{,}25$ и $2{,}25$ — четвёртое неверно. Проверка границ: $a + b$ всегда между −2 и 0, $a^2$ всегда больше 4, а $b^2$ меньше 4, так что вывод не зависит от выбора чисел. Ответ: 3.

Задача 2. Точка для корня

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на отрезках $[3; 4]$, $[4; 5]$, $[5; 6]$ и $[6; 7]$ соответственно. Какая из точек соответствует числу $\sqrt{30}$? 1) $A$; 2) $B$; 3) $C$; 4) $D$.

$5^2 = 25$, $6^2 = 36$, и $25 < 30 < 36$, поэтому $5 < \sqrt{30} < 6$. Это отрезок $[5; 6]$, точка $C$. Ответ: 3. Обратите внимание: записывают номер варианта, а не букву.

Задача 3. Наибольшее из чисел

Какое из чисел наибольшее? 1) $0{,}4$; 2) $\frac{3}{8}$; 3) $\frac{5}{12}$; 4) $0{,}35$.

Переводим в десятичные: $\frac{3}{8} = 0{,}375$, $\frac{5}{12} = 0{,}4166\ldots$. Сравниваем: $0{,}35 < 0{,}375 < 0{,}4 < 0{,}4166\ldots$. Наибольшее — $\frac{5}{12}$. Проверка через общий знаменатель 120: $\frac{48}{120}$, $\frac{45}{120}$, $\frac{50}{120}$, $\frac{42}{120}$ — тот же порядок. Ответ: 3.

Тренажёр: как работать с генератором

Тренажёр вверху страницы — это бесконечные варианты одного из самых частых вопросов седьмого номера: какому из четырёх промежутков между соседними целыми числами принадлежит квадратный корень.

Выберите номер промежутка и нажмите «Проверить»; кнопка «Решение» покажет оценку через квадраты соседних чисел, а «Следующая задача →» сгенерирует новое подкоренное число. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогают видеть точность. Норма — 10 верных ответов подряд за 5–6 минут.

Утверждений о числах $a$ и $b$ и сравнения дробей в генераторе нет, поэтому после него прорешайте 10–15 таких задач из сборника под редакцией И. В. Ященко^[4] или из открытого банка ФИПИ. Ответы попадают в карту слабых тем, где видно, какой номер требует внимания.

Типичные ошибки в задании 7

Ошибок здесь 5 основных, и почти все они связаны со знаками и с невнимательностью к формулировке.

• Квадрат отрицательного числа. Считают, что $a^2 < b^2$, раз $a < b$, хотя $a$ отрицательное и далеко от нуля.
• Буква вместо номера. В бланк пишут «C», а нужно «3» — номер варианта.
• Одна подстановка у границы. Взяли $a = -2{,}01$ и сделали вывод, который не верен при $a = -2{,}99$.
• Корень оценён по подкоренному числу. $\sqrt{30}$ путают с 30 или с 15, то есть делят на 2 вместо извлечения корня.
• Вопрос «неверно» прочитан как «верно». Иногда спрашивают, какое утверждение неверно, — выделите это слово в условии.

Когда этот разбор не поможет

Не всякую трудность с седьмым номером решит тренировка самого номера — иногда сначала нужна база.

• Если квадраты чисел от 11 до 20 вспоминаются дольше 5 секунд, выучите их: без этого корень не оценить.
• Если вы ошибаетесь в знаке произведения чаще 1 раза из 5, повторите правила действий с отрицательными числами.
• Если сравнение $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{12}$ занимает больше 2 минут, сначала потренируйте перевод дробей в шестом номере.
• Если до экзамена меньше 3 дней, не изучайте новые типы — отработайте подстановку на 5–6 задачах.

Чего делать нельзя

Нельзя записывать в бланк само число или букву точки: ответом служит только номер верного варианта.

• Нельзя писать «$\sqrt{30}$», «C» или «5,4» — только цифру 1, 2, 3 или 4.
• Нельзя выбирать вариант, не проверив остальные: верное утверждение в задаче одно.
• Не следует подставлять числа на самой границе промежутка — берите значения внутри.
• Не стоит мерить расстояния на рисунке линейкой: прямая в задании схематична.
• Не стоит полагаться на одну подстановку, если результат близок к нулю.
• Не допускается записывать несколько номеров, если требуется один вариант.

Предыдущий номер варианта — вычисления с дробями, следующий — степени и корни, где оценка корня тоже пригодится. Правила записи ответа — в материале как заполнять бланк ответов.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 7 ОГЭ?

Один первичный балл. Ответ — номер одного из четырёх вариантов.

Что писать в бланк — число или номер?

Номер верного варианта: 1, 2, 3 или 4. Само число, букву точки или промежуток записывать не нужно.

Можно ли решать подстановкой, а не рассуждением?

Да, для выбора ответа подстановка — надёжный способ. Важно брать числа внутри промежутков и при сомнении проверять крайние значения.

Какие квадраты нужно помнить?

Квадраты чисел от 1 до 20 — их хватает почти для всех корней этого номера. Для уточнения до десятых пригодятся квадраты чисел вида 5,5 или 7,5.

Где найти задачи в экзаменационном формате?

В демоверсии, в открытом банке заданий ФИПИ и в сборниках типовых вариантов. Генератор на этой странице даёт бесконечный запас задач на оценку корня.

Что делать, если верными кажутся два утверждения?

Проверьте подстановку другими числами, особенно у краёв промежутков. Одно из утверждений окажется верным не всегда — значит, оно не подходит.