Уравнения в задании 9 ОГЭ: линейные, квадратные и дробные

Что проверяет задание 9 и сколько оно стоит

Задание 9 — это задача базового уровня первой части с кратким ответом: верно найденный корень приносит 1 первичный балл^[1]. Проверяется, умеет ли ученик решать линейные и квадратные уравнения и уравнения с переменной в знаменателе.

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года в варианте по-прежнему 25 заданий, и девятый номер остаётся в первой части^[2]. Он относится к алгебре, поэтому не входит в обязательный геометрический минимум из 2 баллов. Зато навык решения уравнений нужен ещё в 4 номерах: в расчётах по формулам, в неравенствах, в прогрессиях и во второй части.

Оформление не проверяется — только число в бланке. Но черновик с аккуратными переходами от строки к строке экономит время на проверке: ошибка в знаке видна сразу, если каждое действие записано отдельно.

Какие уравнения встречаются в номере

Если сгруппировать задачи открытого банка ФИПИ, получится 4 вида уравнений, и у каждого есть свой короткий алгоритм. Узнать вид нужно до начала вычислений: от него зависит первый шаг.

Теория по каждому виду разобрана отдельно: линейные уравнения и пропорции, квадратные уравнения, дискриминант и теорема Виета, дробно-рациональные уравнения и посторонние корни. Формула корней квадратного уравнения входит в учебник Макарычева для 8 класса^[3], и её стоит знать без подсказки.

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы решение было быстрым, проговаривайте три вопроса: какой вид уравнения, есть ли ограничения на $x$ и сколько корней нужно записать. Ниже — 5 задач, которые покрывают все виды из таблицы.

Задача 1. Линейное уравнение

Решите уравнение $7x - 12 = 3x + 8$.

Слагаемые с $x$ собираем слева, числа справа, меняя знак при переносе: $7x - 3x = 8 + 12$, то есть $4x = 20$. Делим на коэффициент: $x = 5$. Проверка подстановкой: $35 - 12 = 23$ и $15 + 8 = 23$. Ответ: 5.

Задача 2. Линейное уравнение с дробями

Решите уравнение $\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 5$.

Умножаем обе части на общий знаменатель 12: $3x + 2x = 60$, откуда $5x = 60$ и $x = 12$. Умножать нужно все слагаемые, включая правую часть: если забыть про 5, получится $5x = 5$ и неверный ответ 1. Ответ: 12.

Задача 3. Квадратное уравнение, больший корень

Решите уравнение $x^2 - 2x - 35 = 0$. Если корней несколько, запишите больший из них.

Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$, $\sqrt{D} = 12$. Корни: $x = \frac{2 \pm 12}{2}$, то есть $7$ и $-5$. Больший — 7. Тот же результат даёт теорема Виета: сумма корней 2, произведение $-35$, подходит пара 7 и $-5$. Ответ: 7.

Задача 4. Неполное квадратное уравнение

Решите уравнение $x^2 = 6x$. Если корней несколько, запишите меньший из них.

Переносим всё в одну часть и выносим общий множитель: $x^2 - 6x = 0$, $x(x - 6) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x = 0$ или $x = 6$. Меньший корень — 0. Ответ: 0.

Здесь спрятана главная ловушка номера: если разделить обе части на $x$, останется $x = 6$, и корень 0 потеряется. Делить на выражение с неизвестным нельзя, пока не доказано, что оно не равно нулю.

Задача 5. Дробно-рациональное уравнение

Решите уравнение $\frac{x + 3}{x - 2} = \frac{x + 8}{x + 1}$.

Сначала ограничения: $x \ne 2$ и $x \ne -1$. По основному свойству пропорции $(x + 3)(x + 1) = (x + 8)(x - 2)$. Раскрываем: $x^2 + 4x + 3 = x^2 + 6x - 16$. Квадраты сокращаются, остаётся $-2x = -19$, $x = 9{,}5$. Это значение не совпадает с 2 и $-1$, поэтому подходит. Ответ: 9,5.

Миф: «если корень уравнения получился дробным, решение неверное». Это неверно: в задачах 5 и в примере из таблицы корни 9,5 и 0,5 — нормальные ответы для бланка. Требования к целому ответу в спецификации не существует; нельзя только записывать обыкновенную дробь.

Больший, меньший или единственный: как читать условие

Если в условии сказано «запишите больший из корней», а у квадратного уравнения два разных корня, в бланк идёт ровно одно число. Ответ «7; −5» не засчитывается, даже если оба значения найдены верно.

Сравнивать отрицательные числа нужно внимательно: из $-3$ и $-8$ больший — $-3$, потому что он правее на координатной прямой. Ошибка «больше тот, у которого больше цифра» случается чаще, чем ошибка в дискриминанте.

В линейном уравнении корень один, и фраза про больший корень в условии не пишется. В дробном уравнении после отбора может остаться одно значение из двух — тогда записывается именно оно, независимо от того, просили больший или меньший.

Тренажёр: как отработать номер

Тренажёр вверху страницы — это генератор двух видов задач: линейные уравнения с неизвестным в обеих частях и приведённые квадратные, где нужно указать больший или меньший корень. Числа меняются при нажатии «Следующая задача →».

Впишите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». При ошибке разбор откроется автоматически; кнопка «Решение» покажет его и без попытки. Цветная полоска внизу хранит последние ответы, а счётчик «решено X из Y» показывает точность серии.

Норма для этого номера — 15 задач подряд не более чем с 1 ошибкой. Дробно-рациональных и неполных квадратных уравнений генератор не содержит, поэтому их стоит дорешать по сборнику типовых вариантов под редакцией Ященко: 8–10 задач каждого вида.

Типичные ошибки в задании 9

Ошибки здесь повторяются из года в год, и их всего 6. Каждую можно поймать за полминуты, если знать, где искать.

• Знак при переносе. Слагаемое меняет знак, когда переходит через «=»: из $7x - 12 = 3x + 8$ получается $4x = 20$, а не $4x = -4$.
• Потеря нуля. Деление на $x$ в неполном квадратном случае убирает решение $x = 0$.
• Знак $b$ в формуле. В числителе стоит $-b$: при $b = -2$ это $+2$. Путаница даёт противоположные по знаку ответы.
• Квадрат отрицательного числа. $(-2)^2 = 4$, а не $-4$; из-за этого дискриминант получается неверным.
• Забытое ограничение. Значение, при котором знаменатель равен нулю, не может быть ответом, даже если оно получилось в вычислениях.
• Записаны оба числа. Когда просят одно значение, второе в бланке делает ответ неверным.

Миф: «обе части всегда можно разделить на общий множитель — это просто упрощение». Не подтверждается: деление на выражение с $x$ законно только при условии, что оно не равно нулю. Иначе теряется решение, как в задаче 4, где без проверки пропадает ответ 0.

Как проверить ответ подстановкой

Подстановка — это самый надёжный способ проверки: найденное число ставится в исходную запись, и обе части должны совпасть. На это уходит меньше минуты.

1. Шаг 1. Подставьте число в исходное условие, а не в преобразованное: ошибка могла случиться именно при преобразовании.
2. Шаг 2. Для дробного случая проверьте, что ни один знаменатель не обращается в ноль.
3. Шаг 3. Для двух решений квадратного трёхчлена сверьте сумму и произведение с коэффициентами по теореме Виета: при $x^2 - 9x + 20 = 0$ числа 4 и 5 дают сумму 9 и произведение 20.
4. Шаг 4. Перечитайте вопрос: больший, меньший или единственный — и только после этого переносите число в бланк.

Если подстановка дробного числа кажется долгой, используйте приёмы из материала об устном счёте без калькулятора: умножение на 9,5 удобно заменить умножением на 10 минус половина.

Когда этот разбор не поможет

Не каждая трудность решается тренировкой этого номера: иногда проблема в более ранних темах, и тогда быстрее вернуться к ним.

• Если больше 3 ошибок из 10 — в действиях с отрицательными числами, сначала нужны правила знаков, а не новые задачи номера.
• Если при раскрытии скобок вида $(x + 3)(x + 1)$ ошибка появляется в 2 случаях из 5, повторите умножение многочленов.
• Если до экзамена меньше 10 дней, а формула дискриминанта не запоминается, сосредоточьтесь на линейном случае и подборе по теореме Виета.
• Если нужно не просто число, а оформленное решение на 2 балла, это уже задание 20 второй части с другими критериями.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл из-за формы ответа: по спецификации ФИПИ первая часть проверяется автоматически, и лишний символ делает ответ неверным.

• Нельзя делить обе части на выражение с неизвестным без проверки, что оно не равно нулю.
• Нельзя записывать в бланк два числа через точку с запятой, если условие просит одно.
• Не следует пропускать запись ограничений в дробном случае: на проверку значения уйдёт 10 секунд, а без неё легко записать посторонний корень.
• Не стоит решать полное квадратное уравнение подбором, если пара не находится за 30 секунд: дискриминант надёжнее.
• Не стоит записывать ответ в виде «x = 5»: в бланке допускается только число.
• Не допускается обыкновенная дробь в ответе: $\frac{19}{2}$ нужно перевести в 9,5.

Как записать ответ в бланк

В бланк ответов № 1 записывается одно число начиная с первой клеточки: цифры, знак минус и десятичная запятая занимают по одной клетке.

Ответ $-5$ займёт две клетки, а 9,5 — три. Никаких «x =», пробелов и точки вместо запятой. Подробные правила с образцами есть в разделе о том, как заполнять бланк ответов. После уравнений логично перейти к соседним номерам — вероятности и неравенствам, где тот же навык работает в новых условиях.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 9 ОГЭ?

Один первичный балл из 31. Он учитывается в общей сумме, но не в геометрическом минимуме, поэтому правило о 2 баллах по геометрии этим номером не закрывается.

Что делать, если дискриминант отрицательный?

При $D < 0$ действительных решений нет. В экзаменационном варианте это почти всегда признак арифметической ошибки: пересчитайте $b^2$ и знак произведения $4ac$.

Обязательно ли знать теорему Виета?

Нет, достаточно формулы через дискриминант. Но теорема Виета экономит 1–2 минуты на приведённых трёхчленах с целыми решениями и служит быстрой проверкой.

Нужно ли писать ОДЗ, если оформление не проверяется?

Писать в бланк не нужно, но выписать ограничения в черновик стоит: в дробном случае это единственная защита от постороннего значения.

Бывают ли в номере уравнения третьей степени?

В первой части ОГЭ — линейные, квадратные и дробные, сводящиеся к ним. Уравнения высших степеней и замена переменной встречаются во второй части, в номере 20.

Сколько задач решить, чтобы номер стал надёжным?

Ориентир — 40–60 задач всех 4 видов, разбитых на подходы по 10–15 с перерывом в несколько дней. Решать без подсказки полезнее, чем перечитывать готовые разборы.