Задание 8 ОГЭ по математике: степени и квадратные корни

Q: Что делать, если под корнем большое число?

Разложите его на множители и выделите полные квадраты: \sqrt{1764} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 49} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42. Так быстрее, чем подбирать число по таблице.

Q: Можно ли ответить в виде степени, например 2⁵?

Нет. В бланк записывается только число: вместо 2^{5} нужно написать 32. Запись со степенью при автоматической проверке будет считаться неверной.

Что проверяет задание 8 и сколько оно стоит

Задание 8 — это задача базового уровня первой части с кратким ответом: за верное число в бланке ставится 1 первичный балл из 31 возможного^[1]. Проверяется умение работать со степенями с целым показателем и с арифметическим квадратным корнем.

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года структура варианта не меняется: 25 заданий, из них 19 в первой части^[2]. Номер относится к алгебре, поэтому в обязательные 2 балла по геометрии он не входит, зато надёжно добавляет балл к сумме. На всю работу отводится 235 минут, и тратить на это вычисление больше 5 минут не стоит.

Калькулятор на экзамене запрещён, поэтому числа в выражениях подобраны так, чтобы после упрощения степень или корень извлекались устно. Если в черновике появилось шестизначное число, это сигнал: свойство не применено, и задачу нужно начать заново с преобразования.

Какие выражения встречаются и какие свойства нужны

Если разложить задачи открытого банка ФИПИ по приёму решения, получится 5 групп: действия со степенями одного основания, отрицательный показатель, произведение и частное корней, вынесение множителя и формулы сокращённого умножения с корнями.

Тип выражения	Ключевое свойство	Пример
Произведение и частное степеней	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $a^m : a^n = a^{m-n}$	$\frac{5^{7} \cdot 5^{2}}{5^{8}} = 5$
Степень степени	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(2^{3})^{2} = 64$
Отрицательный показатель	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$	$4 \cdot 10^{-2} = 0{,}04$
Произведение корней	$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ при $a, b \ge 0$	$\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = 4$
Квадрат произведения с корнем	$(k\sqrt{a})^2 = k^2 a$	$(2\sqrt{3})^2 = 12$
Разность квадратов	$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$	$(\sqrt{10} - 1)(\sqrt{10} + 1) = 9$

Подробная теория вынесена в отдельные материалы: свойства степеней с целым показателем и арифметический квадратный корень и его свойства. Для этого номера достаточно шести строк таблицы, но знать их нужно без подглядывания: на каждое свойство в учебнике Макарычева отведён отдельный параграф^[3], а на экзамене времени на вывод нет.

Не путать: в задании 7 корень нужно оценить и найти его место на прямой, а здесь значение выражения всегда получается точным числом. Если ответ «примерно 4,2», вы решаете не ту задачу.

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы не перебирать свойства наугад, сначала определите, что стоит в выражении: одна и та же буква или число в основании, корни с разными подкоренными числами или скобки вида «разность на сумму». От этого зависит первое действие.

Задача 1. Степени с одним основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{9} \cdot 2^{-3}}{2^{4}}$ .

Основание везде одно — 2, значит, работаем только с показателями. В числителе показатели складываются: $9 + (-3) = 6$ . При делении показатель знаменателя вычитается: $6 - 4 = 2$ . Остаётся $2^{2} = 4$ . Ответ: 4.

Возводить $2^{9} = 512$ отдельно не нужно: это лишний шаг и лишний шанс ошибиться. Отрицательный показатель в числителе тоже не повод переходить к дробям — достаточно аккуратно сложить числа со знаком.

Задача 2. Произведение корней

Найдите значение выражения $\sqrt{12} \cdot \sqrt{27}$ .

По отдельности ни 12, ни 27 не являются полными квадратами, поэтому корни объединяем: $\sqrt{12 \cdot 27} = \sqrt{324}$ . Чтобы не умножать большие числа, удобнее разложить на множители: $12 \cdot 27 = 4 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 3 = 4 \cdot 9 \cdot 9$ , и корень равен $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$ . Проверка: $18^2 = 324$ . Ответ: 18.

Задача 3. Разность квадратов с корнем

Найдите значение выражения $(\sqrt{19} - 4)(\sqrt{19} + 4)$ .

Скобки отличаются только знаком между одинаковыми слагаемыми — это разность квадратов. Получаем $(\sqrt{19})^2 - 4^2 = 19 - 16 = 3$ . Раскрывать скобки почленно можно, но тогда появятся $4\sqrt{19}$ и $-4\sqrt{19}$ , которые всё равно взаимно уничтожатся. Ответ: 3.

Задача 4. Степень с буквой

Найдите значение выражения $\dfrac{x^{-4} \cdot x^{9}}{x^{3}}$ при $x = 7$ .

Подставлять 7 сразу не следует: получатся $7^{9}$ и дробь $\frac{1}{7^4}$ . Сначала упрощаем: $-4 + 9 - 3 = 2$ , выражение равно $x^{2}$ . Теперь подстановка: $7^2 = 49$ . Ответ: 49. Правило «сначала упростить, потом подставить» работает для любой буквенной степени в этом номере.

Задача 5. Квадрат множителя с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{(2\sqrt{6})^{2}}{8}$ .

Квадрат произведения равен произведению квадратов: $(2\sqrt{6})^{2} = 2^{2} \cdot (\sqrt{6})^{2} = 4 \cdot 6 = 24$ . Делим: $24 : 8 = 3$ . Ответ: 3. Частая ошибка — возвести в квадрат только корень и получить $\frac{12}{8} = 1{,}5$ : множитель перед корнем тоже входит в скобку.

Задача 6. Степень степени

Найдите значение выражения $\dfrac{(3^{4})^{2}}{3^{6}}$ .

При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(3^{4})^{2} = 3^{8}$ . Затем деление степеней с одним основанием: $3^{8-6} = 3^{2} = 9$ . Ответ: 9. Если сложить показатели 4 и 2 вместо умножения, получится $3^{0} = 1$ — именно этот неверный ответ чаще всего встречается в черновиках.

Все шесть задач объединяет одно: каждое выражение сначала упрощается по свойству из таблицы, и только потом выполняется арифметика. Кодификатор ФИПИ относит эти умения к разделу «Числа и вычисления», а в учебнике алгебры для 8 класса они отрабатываются на десятках похожих упражнений.

Миф: «в задании 8 ответ всегда целое число». Это неверно: выражение $5 \cdot 10^{-2} + 3 \cdot 10^{-3}$ равно 0,053, и такой ответ полностью подходит для бланка. Правила, что ответ обязан быть целым, не существует; запрещена только запись с корнем или обыкновенной дробью.

Тренажёр: как отработать номер

Тренажёр в начале страницы — это генератор с 4 видами задач: степени одного основания, произведение корней, разность квадратов с корнями и число, умноженное на степень с отрицательным показателем. Числа меняются при каждом нажатии «Следующая задача →».

Впишите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Если ответ неверный, разбор откроется сам; кнопка «Решение» показывает его и без попытки. Полоска справа хранит последние ответы, а счётчик «решено X из Y» помогает видеть точность.

Рабочая норма — 12 задач подряд с не более чем 1 ошибкой. Генератор не содержит степени степени и вынесения множителя из-под корня, поэтому после него стоит решить 10–15 задач этих видов из сборника типовых вариантов под редакцией Ященко или из учебника.

Типичные ошибки в задании 8 и ловушки

Почти все потери балла в этом номере сводятся к 6 ошибкам, и каждая видна при повторном взгляде на черновик.

Перепутаны сложение и умножение. $3^{4} \cdot 3^{2} = 3^{6}$ , а не $3^{8}$ : перемножают числа над основанием только при возведении в степень.
Минус в показателе принят за минус числа. $2^{-3} = \frac18 = 0{,}125$ , а не $-8$ . Отрицательный показатель переворачивает дробь, знак результата не меняется.
Корень суммы разбит на сумму корней. $\sqrt{9 + 16} = 5$ , тогда как $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ . Свойство корня действует только для произведения и частного.
Множитель не возведён в квадрат. $(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$ , а не 15. Квадрат относится к обоим множителям.
Разные основания объединены неверно. $2^{3} \cdot 3^{3}$ нельзя превратить в $5^{3}$ или $6^{6}$ ; верно только $6^{3}$ , то есть 216.
Ошибка в таблице квадратов. Чтобы извлечь корень из 324 или 576, нужно помнить квадраты двузначных чисел — пригодится таблица квадратов от 10 до 99.

Миф: «корень из числа можно извлечь только приближённо, поэтому без калькулятора задание не решить». Не подтверждается: в экзаменационных выражениях подкоренные числа после преобразования всегда дают точный квадрат. Если остался «неудобный» корень, значит, свойство применено не до конца.

Как проверить ответ за минуту

Чтобы поймать ошибку до бланка, решите выражение вторым способом или сделайте обратную проверку: возведите полученный корень в квадрат и сравните с подкоренным числом.

Обратное действие. Получили $\sqrt{324} = 18$ — проверьте, что $18 \cdot 18 = 324$ . Это занимает 20 секунд.
Оценка порядка. Если в выражении есть $10^{-3}$ , ответ не может быть больше 1 при небольшом множителе. Ответ 53 вместо 0,053 выдаёт потерянную запятую.
Второй путь. Разность квадратов можно проверить почленным раскрытием скобок, а частное — прямым вычислением небольших чисел.
Формат. В ответе не может остаться знак корня или буква: если они есть, выражение упрощено не полностью.

Если ответ — очень маленькая десятичная дробь, полезно перевести степени десяти в обычную запись по правилам из статьи о стандартном виде числа: так меньше риск сдвинуть запятую.

Когда этот разбор не поможет

Не каждая трудность со степенями решается тренировкой этого номера: иногда пробел лежит глубже, и быстрее закрыть его отдельно.

Если больше 3 ошибок из 10 связаны с умножением и делением десятичных дробей, сначала нужны действия с дробями, а уже потом степени.
Если не помните квадраты чисел от 11 до 25, задачи с корнями будут отнимать по 6–7 минут; сначала выучите эти 15 квадратов.
Если до экзамена меньше 7 дней, а свойства степеней не знакомы совсем, разумнее потратить время на номера, где уже есть база.
Если путаются знаки при сложении отрицательных показателей в 2 задачах из 5, повторите действия с отрицательными числами — дело не в теме номера.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на записи: по спецификации ФИПИ ответ первой части проверяется автоматически, и ответ с лишним символом не засчитывается даже при верном решении.

Нельзя записывать в бланк ответ с корнем, степенью или в виде обыкновенной дроби — только целое число или десятичную дробь.
Нельзя подставлять значение буквы до упрощения выражения: числа вырастут до тысяч и миллионов.
Не следует извлекать корень из каждого множителя отдельно, если множители не являются полными квадратами: сначала объедините их под одним корнем.
Не стоит переходить к дробям раньше, чем закончены действия с одним основанием.
Не стоит оставлять номер «на потом» без пометки: 3 минуты в начале работы обходятся дешевле, чем спешка в конце.
Не допускается пользоваться калькулятором или телефоном: по Порядку проведения ГИА это нарушение, за которое удаляют с экзамена.

Как записать ответ в бланк

Ответ к этому номеру — одно число, которое переносится в бланк ответов № 1 слева направо, по одному символу в клеточке, без пробелов и единиц.

Десятичная дробь пишется через запятую, и запятая занимает отдельную клетку: 0,053 — это пять символов. Отрицательный ответ в этом номере встречается редко, но если он получился, минус ставится в первую клетку. Все правила с примерами собраны в материале как заполнять бланк ответов. После степеней логично перейти к уравнениям в следующем номере: там те же преобразования, только с неизвестным.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 8 ОГЭ?

Один первичный балл. Он идёт в общую сумму, но не засчитывается в геометрию, поэтому правило «не менее 2 баллов по геометрии» этим номером не закрыть.

Какие свойства степеней нужно знать наизусть?

Минимум — 5 правил из таблицы выше и ещё 3 правила для радикалов: произведение, частное и возведение в квадрат. Всё остальное выводится из них за полминуты.

Бывают ли в этом номере дробные показатели?

В заданиях ОГЭ над основанием стоят только целые числа, а радикалы — квадратные. Дробные числа в этой роли и логарифмы относятся к курсу 10–11 классов и встречаются уже в ЕГЭ.

Что делать, если под корнем большое число?

Разложите его на множители и выделите полные квадраты: $\sqrt{1764} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 49} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ . Так быстрее, чем подбирать число по таблице.

Можно ли ответить в виде степени, например 2⁵?

Нет. В бланк записывается только число: вместо $2^{5}$ нужно написать 32. Запись со степенью при автоматической проверке будет считаться неверной.

Сколько задач решить, чтобы номер стал надёжным?

Ориентир — 40–50 задач всех 5 групп, разбитых на несколько коротких подходов с перерывами в 2–3 дня. Решать задачи самому без подсказки полезнее, чем перечитывать готовые решения.