Случайная величина: ожидание, дисперсия и разброс

Что такое случайная величина и где она нужна

Случайная величина — это правило, которое каждому исходу опыта ставит в соответствие число. Бросаем монету 3 раза: исход «орёл, решка, орёл» превращается в число 2, исход «решка, решка, решка» — в число 0.

Слово «случайная» относится к тому, что заранее значение неизвестно. Но множество возможных значений и их вероятности известны точно, и это позволяет считать. Величины обозначают заглавными латинскими буквами $X$ , $Y$ , $Z$ , а их значения — строчными: $x_1, x_2, \ldots$ .

В школьной программе эта тема входит в курс «Вероятность и статистика», который по ФОП среднего общего образования изучается отдельным предметом в 10–11 классах^[4]. На экзамене она стала заметной в 2027 году: по проекту ФИПИ в профильном ЕГЭ появилось новое задание 6 — случайная величина, распределение, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение^[2]. По проекту спецификации ФИПИ задание 6 относится к первой части и оценивается 1 баллом^[1]. Формат и примеры этого номера разобраны на странице задание 6 профильного ЕГЭ, а здесь — сама теория, без которой номер не решить.

Различают дискретные и непрерывные величины. Дискретная принимает отдельные значения, которые можно перечислить: 0, 1, 2, 3. Непрерывная может принять любое значение из промежутка — например, время ожидания автобуса. В школьном курсе и на экзамене работают только с дискретными величинами с конечным числом значений.

Таблица распределения: как её составить

Распределение — это таблица из двух строк: в первой все возможные значения величины, во второй их вероятности. Сумма вероятностей во второй строке всегда равна 1, и это первая проверка любой таблицы.

Составим распределение числа орлов $X$ при трёх бросках симметричной монеты. Всего исходов $2^3 = 8$ , все равновозможны. Ровно один исход без орлов, три исхода с одним орлом (ОРР, РОР, РРО), три — с двумя и один — с тремя.

Значение $X$	0	1	2	3
Вероятность $P$	$\frac18$	$\frac38$	$\frac38$	$\frac18$
Произведение $x \cdot p$	0	$\frac38$	$\frac68$	$\frac38$

Проверка: $\frac18 + \frac38 + \frac38 + \frac18 = 1$ . Если сумма получилась 0,9 или 1,1, значит, пропущен исход или посчитан дважды, и дальше считать бессмысленно. Число исходов удобно находить по правилам из статьи про правило умножения и сочетания.

Именно этот опыт встроен в симулятор вверху страницы. Нажмите «+100» несколько раз: красные столбики частот подтянутся к синим столбикам вероятностей, а «среднее по опытам» приблизится к числу 1,5. Кнопка «+10 000» показывает то же самое почти мгновенно, «Сбросить» обнуляет счётчик.

Математическое ожидание: среднее значение с весами

Математическое ожидание — это сумма произведений значений на их вероятности: $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$ . Это то среднее, к которому стремится среднее арифметическое результатов при большом числе опытов.

Для трёх бросков монеты сложим нижнюю строку таблицы: $E(X) = 0 + \frac38 + \frac68 + \frac38 = \frac{12}{8} = 1{,}5$ . Орлов не может выпасть полтора — ожидание вовсе не обязано совпадать ни с одним возможным значением. Оно описывает центр распределения, а не «самый вероятный исход».

В лотерее 1000 билетов. На один билет выпадает выигрыш 5000 рублей, на 10 билетов — по 200 рублей, на 100 билетов — по 20 рублей, остальные без выигрыша. Найдите математическое ожидание выигрыша на один билет.

Решение. Величина $X$ — выигрыш. Значения: 5000 с вероятностью 0,001; 200 с вероятностью 0,01; 20 с вероятностью 0,1; 0 с вероятностью 0,889. Сумма вероятностей $0{,}001 + 0{,}01 + 0{,}1 + 0{,}889 = 1$ . Ожидание: $5 + 2 + 2 + 0 = 9$ рублей. Если билет стоит 20 рублей, в среднем покупатель теряет 11 рублей на каждом билете — так считают «выгодность» любой игры.

Полезные свойства, которые экономят время: $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ для любых величин, $E(aX + b) = a E(X) + b$ . Если выигрыш каждого билета удвоить и добавить 5 рублей, новое ожидание будет $2 \cdot 9 + 5 = 23$ рубля без пересчёта таблицы.

Миф: «математическое ожидание — это значение, которое выпадет чаще всего». Это неверно. Чаще всего выпадает мода распределения, а ожидание может вообще не входить в список значений: у игрального кубика оно равно 3,5, а грани с числом 3,5 не существует.

Дисперсия и стандартное отклонение: мера разброса

Дисперсия — это математическое ожидание квадрата отклонения от среднего: $D(X) = E\big((X - E(X))^2\big)$ . Она показывает, насколько сильно значения разбросаны вокруг ожидания; стандартное отклонение — корень из дисперсии.

На практике удобнее вторая формула: $D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ . Сначала возводим каждое значение в квадрат и находим ожидание квадратов, потом вычитаем квадрат ожидания. Разберём на величине с распределением: значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями 0,1; 0,3; 0,4; 0,2.

Ожидание. $E(X) = 0 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot 0{,}2 = 1{,}7$ .
Ожидание квадрата. $E(X^2) = 0 + 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}4 + 9 \cdot 0{,}2 = 3{,}7$ .
Дисперсия. $D(X) = 3{,}7 - 1{,}7^2 = 3{,}7 - 2{,}89 = 0{,}81$ .
Стандартное отклонение. $\sigma = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$ .

Дисперсия не может быть отрицательной: это среднее квадратов. Если получилось $-0{,}3$ , ошибка почти наверняка в том, что вычли $E(X^2)$ из $\big(E(X)\big)^2$ , а не наоборот. Это прямо следует из определения в любом учебнике теории вероятностей. Нулевая дисперсия бывает только у величины, которая принимает одно значение с вероятностью 1.

Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама величина, а дисперсия — в квадратах этих единиц. Поэтому о разбросе выигрыша в рублях говорят через $\sigma$ : «в среднем 9 рублей, отклонение около 160 рублей». Для трёх бросков монеты $D(X) = 0{,}75$ — это значение показывает и симулятор в ячейке «дисперсия (теория)», — а $\sigma \approx 0{,}87$ .

Два свойства дисперсии: $D(aX + b) = a^2 D(X)$ — сдвиг на $b$ разброс не меняет, а множитель выходит в квадрате; для независимых величин $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ . Пример: $E(X) = 3$ , $D(X) = 4$ , тогда для $Y = 2X - 5$ получаем $E(Y) = 1$ , $D(Y) = 16$ , $\sigma_Y = 4$ . Описательная статистика для готовых наборов данных — среднее, медиана, размах — разобрана отдельно в статье среднее, медиана и отклонение.

Биномиальное распределение: серия одинаковых испытаний

Биномиальная случайная величина — это число успехов в $n$ независимых испытаниях, если в каждом успех наступает с одной и той же вероятностью $p$ . Число орлов при трёх бросках монеты — частный случай с $n = 3$ , $p = 0{,}5$ .

Вероятность ровно $k$ успехов считается по формуле Бернулли: $P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}$ . Множитель $C_n^k$ — число способов выбрать, в каких именно испытаниях случились успехи. Для биномиальной величины есть готовые формулы характеристик: $E(X) = np$ , $D(X) = np(1 - p)$ .

Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,7 и делает 4 независимых выстрела. Найдите вероятность ровно трёх попаданий, ожидание и дисперсию числа попаданий.

Решение. $P(X = 3) = C_4^3 \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116$ . Ожидание $4 \cdot 0{,}7 = 2{,}8$ попадания, дисперсия $4 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}84$ . Проверить формулу $np$ легко и без неё: в одном выстреле ожидание числа попаданий равно 0,7, а по теореме о сложении ожиданий четыре выстрела дают $4 \cdot 0{,}7$ .

Формула Бернулли работает только при двух условиях: испытания независимы и вероятность успеха не меняется. Если вытаскивать шары из урны без возвращения, вероятность меняется от шага к шагу, и биномиальная схема не подходит. Правила умножения вероятностей для таких случаев есть в материале сложение и умножение вероятностей.

Сводка формул в одной таблице

Все расчёты темы сводятся к 6 формулам, и их удобно держать перед глазами при решении первых 20–30 задач, пока они не запомнятся сами.

Характеристика	Формула	Частая ошибка
Проверка распределения	$p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1$	пропущено одно значение
Ожидание	$E(X) = \sum x_i p_i$	делят на число значений, как в обычном среднем
Дисперсия	$D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$	вычитают в обратном порядке
Стандартное отклонение	$\sigma = \sqrt{D(X)}$	забывают извлечь корень
Линейное преобразование	$E(aX+b) = aE + b$ , $D(aX+b) = a^2 D$	прибавляют $b$ к дисперсии
Биномиальная схема	$E = np$ , $D = np(1-p)$	применяют к выбору без возвращения

Миф: «если пять раз подряд выпал орёл, в шестой раз решка вероятнее». Это не подтверждается ни теорией, ни опытом: броски независимы, и вероятность орла в шестом броске по-прежнему 0,5. Проверьте сами в симуляторе — серии из 5–6 одинаковых исходов при 10 000 опытах встречаются постоянно, но частоты всё равно выравниваются.

Когда симулятор не поможет

Симулятор — это наглядная проверка формул, но он не заменяет решения: на экзамене нужен точный ответ, а опыт даёт только приближение.

Если нужна вероятность с точностью до 0,0001, даже 10 000 опытов дадут погрешность порядка 0,01 — считать придётся по формуле.
Если в задаче больше 3 бросков или несколько разных монет, встроенные пресеты не подходят: стройте таблицу распределения вручную.
Если до экзамена меньше 2 недель, а формулу Бернулли вы ещё не решали, полезнее 15 задач на бумаге, чем час нажатий на кнопки.
Если не получается найти даже вероятность одного события, начните с классического определения — например, со статьи о задаче 4 профиля, — и вернитесь сюда через 3–5 дней.

Чего делать нельзя

Нельзя считать ответ верным, пока он не прошёл две быстрые проверки: сумма вероятностей равна 1, а дисперсия не меньше нуля.

Нельзя находить ожидание как обычное среднее значений, деля на их количество: веса у значений разные.
Нельзя применять формулу $np$ к выбору без возвращения — испытания там зависимы.
Не следует путать дисперсию и стандартное отклонение: если спрашивают отклонение, извлеките корень.
Не следует округлять промежуточные вероятности: ошибка в третьем знаке после возведения в квадрат вырастет.
Не стоит записывать в бланк обыкновенную дробь: ответ переводят в десятичную, например $\frac34 = 0{,}75$ .
Не стоит верить «системам» для лотерей и казино: отрицательное ожидание выигрыша никакой порядок ставок не исправит.

Как тренировать тему

Чтобы тема закрепилась, достаточно 3–4 коротких занятий по 30 минут с перерывами в несколько дней. Распределённое повторение с интервалами работает лучше, чем один длинный вечер подряд, — это показал метаанализ Cepeda и соавторов^[5].

Первое занятие — таблицы распределения для монет и кубиков и проверка суммы. Второе — ожидание и дисперсия по таблице, по 5–6 задач. Третье — формула Бернулли и характеристики биномиальной величины. Четвёртое — смешанный набор задач из сборников типовых вариантов под редакцией Ященко, где номер надо узнать без подсказки. Учебник Высоцкого и Ященко^[3] даёт задачи в той же логике и с тем же обозначением $E(X)$ .

После каждой задачи не подглядывайте в решение, пока не получите своё число: самостоятельное воспроизведение запоминается надёжнее перечитывания. Для наглядности возвращайтесь к симулятору монет и кубиков и сравнивайте среднее по опытам с теоретическим.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[4] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

[5] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Чем случайная величина отличается от случайного события?

Событие либо наступает, либо нет, а величина принимает числовые значения. Любое событие можно превратить в величину: 1, если наступило, и 0, если нет. Её ожидание равно вероятности события.

Есть ли эта тема в ОГЭ?

В ОГЭ задание 10 посвящено вероятности и статистике, но отдельного номера на ожидание и разброс там нет. Тема важна прежде всего для нового задания 6 профильного ЕГЭ по проекту 2027 года.

Какой ответ писать, если получилась дробь вроде 7/12?

В бланк ЕГЭ записывают целое число или конечную десятичную дробь. Если дробь не переводится в конечную десятичную, перепроверьте решение: в задачах с кратким ответом условие подбирают так, чтобы ответ записывался точно.

Зачем две формулы для разброса?

Определение через квадраты отклонений объясняет смысл, а формула «ожидание квадрата минус квадрат ожидания» быстрее в счёте. Результат у них всегда одинаковый, поэтому одной можно проверять другую.

Нужно ли знать непрерывные распределения?

Для школьного экзамена — нет. Нормальное распределение упоминают в курсе ознакомительно, но задачи на краткий ответ строят на величинах с несколькими значениями, которые можно записать в таблицу.

Почему в симуляторе среднее не равно точно 1,5?

Потому что опытов конечное число. При 100 опытах отклонение порядка 0,1 — обычное дело, при 10 000 — уже около сотых. Это и есть закон больших чисел: частоты и среднее приближаются к теоретическим, но совпадают лишь в пределе.