Среднее арифметическое, медиана, мода и размах ряда

Зачем нужны меры описательной статистики

Описательная статистика — это способ заменить длинный ряд чисел несколькими показателями: где центр ряда (среднее, медиана, мода) и насколько велик разброс (размах, дисперсия, стандартное отклонение).

По Федеральной образовательной программе основного общего образования^[1] эти понятия изучают в курсе вероятности и статистики с 7 класса. На ОГЭ они встречаются в задании 10 (вероятность и статистика), в базовом ЕГЭ — при чтении таблиц и диаграмм, а в профильном ЕГЭ по проекту ФИПИ 2027 года появилось новое задание 6, где нужны дисперсия и стандартное отклонение случайной величины^[2]. Учебник Высоцкого и Ященко^[3] вводит меры центра раньше мер разброса — так же построена и эта статья.

Показатель	Как найти	Чувствителен к выбросам
Среднее арифметическое	сумма : количество	да, сильно
Медиана	центральное значение упорядоченного ряда	нет
Мода	значение, которое встречается чаще всего	нет
Размах	наибольшее − наименьшее	да, полностью
Дисперсия	среднее квадратов отклонений от среднего	да
Стандартное отклонение	$\sqrt{D}$	да

Порядок вычислений по одному ряду

Если по ряду нужно найти сразу несколько показателей, удобно действовать в одном порядке — так каждое следующее вычисление опирается на предыдущее.

Шаг 1. Упорядочите ряд по возрастанию — это сразу даёт размах, медиану и моду.
Шаг 2. Найдите сумму и среднее арифметическое.
Шаг 3. Выпишите отклонения от среднего и проверьте, что их сумма равна нулю.
Шаг 4. Возведите отклонения в квадрат и найдите дисперсию, затем стандартное отклонение.

Кодификатор ФИПИ для ОГЭ относит эти показатели к описательной статистике, а спецификация экзамена — к заданиям базового уровня, поэтому вычисления в них короткие: ряды из 5–10 чисел без громоздкой арифметики. Учебник для 7–9 классов предлагает тот же порядок: сначала упорядочить данные, потом считать.

Среднее арифметическое и его свойства

Среднее арифметическое $n$ чисел равно их сумме, делённой на $n$ : $\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$ . Это «уравненное» значение: если раздать сумму поровну, каждому достанется $\bar x$ . В демоверсии ФИПИ ответ на такой вопрос записывают числом, при необходимости — десятичной дробью.

Оценки ученика за четверть: 5, 3, 4, 5, 2, 4, 5. Сумма 28, оценок 7, среднее $28 : 7 = 4$ . Полезно помнить обратную формулу: сумма равна среднему, умноженному на количество. Она решает задачи про пропущенное значение. Если среднее пяти чисел равно 7, а четыре из них — 5, 6, 9 и 10, то пятое равно $7 \cdot 5 - (5 + 6 + 9 + 10) = 35 - 30 = 5$ .

Два свойства экономят время: если ко всем числам прибавить одно и то же число $a$ , среднее тоже вырастет на $a$ ; если все числа умножить на $k$ , среднее умножится на $k$ . Сумма отклонений всех значений от среднего всегда равна нулю — на этом построена проверка ответа.

Медиана: середина упорядоченного ряда

Медиана — это число, которое стоит посередине ряда, упорядоченного по возрастанию. При нечётном количестве значений это центральный элемент, при чётном — среднее арифметическое двух центральных.

Для оценок 5, 3, 4, 5, 2, 4, 5 сначала упорядочиваем: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5. Значений 7, на четвёртом месте стоит 4 — это медиана. Для ряда 12, 15, 9, 22, 14, 18 порядок такой: 9, 12, 14, 15, 18, 22. Значений 6, в центре 14 и 15, медиана $\frac{14 + 15}{2} = 14{,}5$ , а среднее арифметическое этого ряда равно 15.

Миф: «медиана — это просто число, стоящее посередине записи ряда». Неверно: для ряда 7, 2, 9 средний по записи элемент — 2, а медиана — 7. Без упорядочивания медианы не существует, и это самая частая ошибка в задачах на статистику.

Мода и размах ряда

Мода — это значение, которое встречается в ряду чаще всего; размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями. В ряду оценок мода равна 5 (три раза), размах $5 - 2 = 3$ .

У ряда может быть несколько мод (если два значения встречаются одинаково часто) или не быть моды вовсе (если все значения разные). В учебнике по вероятности и статистике мода появляется как самая простая мера центра. Мода — единственная мера центра, которую можно найти для нечисловых данных: например, самый популярный размер обуви в магазине или самый частый ответ в опросе. Размах описывает разброс грубо: он зависит только от двух крайних чисел и ничего не говорит о том, как расположены остальные.

Когда среднее арифметическое обманывает

Если в данных есть выброс — значение, резко отличающееся от остальных, — среднее арифметическое смещается к нему, а медиана почти не меняется. В таких случаях медиана честнее описывает «типичное» значение.

Зарплаты пяти сотрудников небольшой фирмы: 30, 35, 40, 45 и 250 тысяч рублей (последняя — у директора). Найдите среднее арифметическое и медиану.

Сумма $400$ тысяч, среднее арифметическое $400 : 5 = 80$ тысяч. Медиана — третье число в упорядоченном ряду, 40 тысяч. Четыре сотрудника из пяти получают меньше «средней» зарплаты, поэтому медиана здесь точнее отвечает на вопрос, сколько обычно платят в этой фирме.

Миф: «половина значений всегда больше среднего, а половина — меньше». Это не подтверждается примером с зарплатами: выше среднего только одно значение из пяти. Делит ряд пополам медиана, а не среднее.

Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего: $D = \frac{(x_1 - \bar x)^2 + \ldots + (x_n - \bar x)^2}{n}$ . Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии, $\sigma = \sqrt{D}$ .

Возьмём ряд 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Сумма 40, среднее 5. Отклонения: $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ , их квадраты: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, сумма 32. Дисперсия $32 : 8 = 4$ , стандартное отклонение $\sqrt4 = 2$ . Его удобно понимать как «типичное расстояние» от значения до среднего в тех же единицах, что и данные.

Отклонения возводят в квадрат, потому что их простая сумма всегда равна нулю — это легко доказать как небольшую теорему, раскрыв скобки. Стандартное отклонение возвращает результат к исходным единицам: если данные в сантиметрах, дисперсия будет в квадратных сантиметрах, а $\sigma$ — снова в сантиметрах. Те же понятия для случайной величины с вероятностями разобраны в статье случайная величина, ожидание и дисперсия и на странице задание 6 профильного ЕГЭ.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 9 задач на все меры из таблицы: 8 с числовым ответом и одна с выбором варианта. Задачи идут по кругу, поэтому к ним можно возвращаться.

Решайте на черновике, затем вводите число в поле «Ответ» и нажимайте «Проверить». Кнопка «Решение» покажет вычисления, а «Следующая задача →» откроет новую. Если путаетесь в медиане, перед каждой задачей сначала записывайте упорядоченный ряд — это занимает 20 секунд и снимает почти все ошибки. Данные из диаграмм тренируются отдельно в материале чтение графиков и диаграмм, а экзаменационные сюжеты — в разборе задание 10 ОГЭ.

Когда одна мера не подходит

Ни один показатель не описывает ряд полностью, и в 4 типичных ситуациях выбор «по привычке» даёт искажённую картину.

Если в ряду есть выброс, отличающийся от остальных в 3 и более раза, среднее искажено — сообщайте медиану.
Если данные нечисловые (цвет, размер, марка), подходит только мода: среднее для 5 цветов не определено.
Если значений меньше 4, дисперсия и стандартное отклонение почти ничего не говорят о разбросе.
Если нужно сравнить разброс двух рядов, одного размаха мало: при выбросе он вырастает в 2–10 раз, даже если остальные числа близки.

Чего делать нельзя

Нельзя считать медиану и моду по неупорядоченному ряду «на глаз»: перед любым вычислением выпишите числа по возрастанию.

Нельзя искать медиану, не упорядочив ряд.
Нельзя при чётном количестве значений брать в качестве медианы одно из двух центральных чисел.
Не следует путать дисперсию со стандартным отклонением: они отличаются извлечением корня.
Не следует терять знак у отрицательных значений при подсчёте суммы и размаха.
Не стоит выдавать среднее за «типичное значение», если в данных есть выброс.
Не допускается округлять отклонения до возведения в квадрат — округляют только итог.

Источники

[1] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Может ли среднее арифметическое не совпадать ни с одним значением ряда?

Да, и так бывает чаще всего. Среднее чисел 1, 2 и 6 равно 3, хотя тройки в ряду нет. Медиана нечётного ряда, наоборот, всегда совпадает с одним из значений.

Что делать, если в ряду две моды?

Указать обе. Ряд 1, 1, 2, 3, 3 имеет моды 1 и 3. В экзаменационных задачах ряд обычно подбирают с одной модой, чтобы ответ был однозначным.

Чем медиана лучше среднего?

Она устойчива к выбросам: одно очень большое или очень маленькое значение почти не сдвигает медиану. Зато среднее учитывает каждое значение и удобно для расчёта суммы.

Почему дисперсия всегда неотрицательна?

Она складывается из квадратов, а квадрат не бывает отрицательным. Дисперсия равна нулю только когда все значения одинаковы.

Нужна ли дисперсия для ОГЭ?

Задание 10 ОГЭ — вероятность и статистика базового уровня, и для него важнее уверенно считать среднее, медиану и размах. Дисперсия и стандартное отклонение нужнее в профильном ЕГЭ, где по проекту 2027 года появилось задание про случайную величину.

Как быстро проверить посчитанное среднее?

Сложите отклонения всех чисел от найденного среднего: сумма должна быть равна нулю. Для оценок 5, 3, 4, 5, 2, 4, 5 со средним 4 отклонения $1 - 1 + 0 + 1 - 2 + 0 + 1 = 0$ .