Сложение и умножение вероятностей: независимые события и дерево

Где нужны сложение и умножение вероятностей

Сложение и умножение вероятностей — это основа задания 5 профильного ЕГЭ (номер не изменился и в проекте 2027 года), которое оценивается 1 баллом; простые случаи встречаются и в задании 10 ОГЭ.

Спецификация профильного ЕГЭ относит задание 5 к теории вероятностей с использованием теорем сложения и умножения^[1]. В отличие от классической вероятности, здесь мало посчитать исходы: опыт состоит из нескольких этапов или событий, и нужно понять, как они связаны. Если формула $\frac{m}{n}$ ещё вызывает сомнения, начните со статьи классическая вероятность и перебор исходов. Демоверсия ФИПИ профильного уровня показывает, что ответ здесь — десятичная дробь, которую иногда нужно округлить. Разбор самого номера — на странице задание 5 профильного ЕГЭ.

Сложение вероятностей несовместных событий

Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно. Для них вероятность того, что произойдёт одно или другое, равна сумме их вероятностей.

На экзамене ученику достаётся один вопрос. Вероятность, что это вопрос по треугольникам, равна 0,2, по окружности — 0,15. Вопросов, относящихся сразу к обеим темам, нет. Найдите вероятность, что ученику достанется вопрос по одной из этих тем.

События несовместны — один вопрос не может относиться к двум темам одновременно. Поэтому $P = 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}35$. Ответ: 0,35. Фраза «вопросов, относящихся сразу к обеим темам, нет» — прямая подсказка, что сложение законно.

Если события совместны

Когда события могут произойти вместе, простая сумма учитывает общую часть дважды, и её нужно вычесть. В двух кофейных автоматах кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,3 в каждом, а в обоих сразу — с вероятностью 0,12. Тогда кофе закончится хотя бы в одном с вероятностью $0{,}3 + 0{,}3 - 0{,}12 = 0{,}48$, а останется в обоих — $1 - 0{,}48 = 0{,}52$. Заметьте: здесь события зависимы, ведь $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09 \ne 0{,}12$, поэтому умножать вероятности нельзя.

Теорема умножения вероятностей

Если события независимы — наступление одного не меняет вероятность другого, — то вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей. Это правило умножения вероятностей. В учебниках его называют теоремой умножения, хотя для независимых событий оно, по сути, и есть определение независимости.

Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени по одному разу. Вероятность попадания первого — 0,8, второго — 0,7. Найдите вероятность того, что оба попадут в мишень.

Стрелки независимы, поэтому $P = 0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}56$. Ответ: 0,56. Именно такие задачи выдаёт «Тренажёр · № 5 ЕГЭ профиль» вверху страницы: два стрелка, разные вероятности и один из трёх вопросов — «оба попадут», «хотя бы один попадёт» или «попадёт ровно один».

Правило умножения вероятностей работает для любого числа независимых событий. Биатлонист стреляет 5 раз, вероятность попадания при одном выстреле 0,8. Вероятность того, что первые три раза он попадёт, а последние два промахнётся, равна $0{,}8^3 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}512 \cdot 0{,}04 = 0{,}02048$, после округления до сотых — 0,02.

Миф: «если монета пять раз подряд упала орлом, в шестой раз решка выпадет с большей вероятностью — она же „должна“ выровняться». Неверно: броски независимы, и вероятность решки в шестом броске по-прежнему 0,5. «Памяти» у монеты не бывает.

Противоположное событие и «хотя бы один»

Если в условии есть слова «хотя бы один», почти всегда быстрее посчитать вероятность противоположного события — «ни одного» — и вычесть её из 1.

Для двух стрелков из примера выше событие «хотя бы один попал» противоположно событию «оба промахнулись». Вероятность промаха первого $0{,}2$, второго $0{,}3$, обоих — $0{,}06$. Значит, $P = 1 - 0{,}06 = 0{,}94$. Для трёх выстрелов с вероятностью попадания 0,6 вероятность хотя бы одного попадания $1 - 0{,}4^3 = 1 - 0{,}064 = 0{,}936$.

Событие «ровно один попал» складывается из двух несовместных вариантов: «первый попал, второй нет» и «первый нет, второй попал». Используем оба правила сразу: $0{,}8 \cdot 0{,}3 + 0{,}2 \cdot 0{,}7 = 0{,}24 + 0{,}14 = 0{,}38$. Проверка: $0{,}56 + 0{,}38 + 0{,}06 = 1$ — три варианта «оба», «ровно один», «ни одного» исчерпывают все случаи.

Дерево вероятностей

Дерево — это схема, где каждый этап опыта даёт ветвление, а на ветвях подписаны вероятности. Вдоль ветки вероятности умножают, а результаты разных веток, ведущих к нужному событию, складывают.

Фабрика выпускает тарелки в двух цехах: 40% продукции — первый цех, 60% — второй. Брак в первом цехе составляет 2%, во втором — 3%. Найдите вероятность того, что случайно выбранная тарелка бракованная.

От корня дерева идут две ветки: «первый цех» (0,4) и «второй цех» (0,6). От каждой — «брак» и «не брак». Нужные ветки: $0{,}4 \cdot 0{,}02 = 0{,}008$ и $0{,}6 \cdot 0{,}03 = 0{,}018$. Складываем: $0{,}026$. Ответ: 0,026. Это формула полной вероятности, записанная картинкой. В учебнике для 10–11 классов её выводят как теорему, но для экзамена достаточно умения строить дерево и не терять ветки.

Полезная привычка — сразу подписывать на дереве и вероятности «противоположных» веток: $0{,}98$ и $0{,}97$ для «не брака». Тогда сумма всех четырёх концов дерева $0{,}392 + 0{,}008 + 0{,}582 + 0{,}018 = 1$ служит готовой проверкой, а любой вопрос про тарелки без брака решается той же схемой без пересчёта.

Дерево позволяет ответить и на обратный вопрос: какова вероятность, что бракованная тарелка сделана в первом цехе? Это условная вероятность $\frac{0{,}008}{0{,}026} = \frac{4}{13} \approx 0{,}31$. Подробнее о том, как графы помогают в таких задачах, — в материале множества и графы в задачах ОГЭ.

Миф: «вероятности можно умножать всегда, когда в условии есть слово „и“». Это не подтверждается примером с кофейными автоматами: там «и» есть, а события зависимы, и произведение $0{,}09$ не совпадает с настоящей вероятностью $0{,}12$. Умножение законно только для независимых событий или с условной вероятностью.

Как выбрать правило: 4 вопроса к условию

Чтобы не перепутать сложение и умножение, задайте условию четыре вопроса по порядку — это занимает меньше минуты и отсекает большинство ошибок.

1. Вопрос 1. Из каких элементарных событий состоит искомое? Запишите его словами через «и», «или», «не».
2. Вопрос 2. Есть ли «хотя бы один»? Если да — перейдите к противоположному событию.
3. Вопрос 3. Независимы ли события в «и»? Если да — умножайте; если нет — нужна условная вероятность.
4. Вопрос 4. Несовместны ли варианты в «или»? Если да — складывайте; если нет — вычтите общую часть.

Учебник Высоцкого и Ященко^[2] вводит эти правила именно в такой логике: сначала операции над событиями, затем формулы. Критерии оценивания ФИПИ для первой части простые — засчитывается только верное число, поэтому самопроверка особенно важна. Результат проверяйте суммой: вероятности всех взаимоисключающих вариантов должны давать 1. Связь с распределением случайной величины разобрана в статье случайная величина и математическое ожидание.

Когда правило умножения не подходит

Теоремы сложения и умножения — не универсальный ответ, и в 3 ситуациях их применение приводит к ошибке.

• Если шары тянут без возвращения, вероятность второго шага меняется: из 10 шаров после первого остаётся 9, и простое умножение одинаковых дробей неверно.
• Если исходы равновозможны и их меньше 40, быстрее посчитать их напрямую по формуле $\frac{m}{n}$, чем строить дерево.
• Если событий больше 5 и нужна вероятность «ровно k успехов», удобнее формула Бернулли с числом сочетаний, а не перебор веток.

Чего делать нельзя

Нельзя выбирать формулу по одному слову в условии: проверяйте, как связаны события, а не только союз «и» или «или».

• Нельзя умножать вероятности зависимых событий, как будто они независимы.
• Нельзя складывать вероятности совместных событий без вычитания общей части.
• Не следует путать «хотя бы один» с «ровно один» — это разные события.
• Не следует округлять промежуточные произведения: $0{,}02048$ округляют только в конце.
• Не стоит оставлять ответ больше 1: такой результат означает, что вы сложили совместные события.
• Не допускается записывать в бланк ответ в процентах, если спрашивают вероятность.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[3] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

Вопросы и ответы

Чем несовместные события отличаются от независимых?

Несовместные не могут произойти вместе, независимые не влияют друг на друга. Это разные свойства: два несовместных события с ненулевыми вероятностями всегда зависимы, ведь наступление одного исключает другое.

Когда применяется правило умножения вероятностей?

Когда нужно, чтобы произошли все события сразу, и они независимы: разные стрелки, разные броски, разные приборы. Для зависимых событий умножают на условную вероятность.

Как понять, что события независимы?

Обычно это сказано в условии: «независимо друг от друга». Если не сказано, проверьте равенство $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$ — при данных из условия его легко посчитать.

Нужно ли рисовать дерево на экзамене?

В черновике — очень полезно, если этапов два и больше. В бланк идёт только число, поэтому рисунок никто не проверяет, но он защищает от пропущенной ветки.

Входит ли условная вероятность в программу?

Да, по ФОП среднего общего образования^[3] курс вероятности и статистики в 10–11 классах включает условную вероятность и формулу полной вероятности.

Что делать, если ответ — длинная дробь?

Если в условии сказано округлить, округляйте в конце. Если не сказано, а дробь не конечная, перепроверьте решение: ответ задания 5 записывается конечной десятичной дробью.