Множества и графы: круги Эйлера, вершины, рёбра

Множества и графы в школьной программе

Множества и графы — это разделы курса «Вероятность и статистика», который по ФОП основного общего образования изучается отдельным предметом с 7 класса^[2]. Они не самоцель: на них опираются перебор исходов, правило умножения и деревья вероятностей.

В учебнике Высоцкого и Ященко^[1] множества появляются как способ записать исходы опыта, а графы — как наглядная схема для перебора: дерево вариантов и есть граф особого вида. Поэтому разбираться в теме полезно не ради отдельного вопроса, а ради всей вероятностной линии. В ОГЭ эта линия представлена заданием 10 — вероятность и статистика, о нём подробно в статье про задание 10 ОГЭ.

Задачи на множества и графы почти не требуют формул. Нужны точные определения и аккуратный подсчёт: большинство ошибок здесь связаны не с незнанием, а с тем, что один элемент посчитан дважды или одно ребро пропущено.

Основные понятия теории множеств

Множество — это совокупность объектов, которые называют его элементами. Запись $3 \in A$ означает «3 — элемент множества $A$ », запись $|A| = 5$ — «в множестве 5 элементов».

Множество задают перечислением, $A = \{1, 2, 3, 6\}$ , или характеристическим свойством: «натуральные делители числа 6». Порядок элементов и повторы роли не играют: $\{1, 2, 3\}$ и $\{3, 1, 2, 1\}$ — одно и то же множество. Множество без элементов называется пустым и обозначается $\varnothing$ .

Если каждый элемент множества $B$ принадлежит $A$ , то $B$ — подмножество $A$ : $B \subset A$ . Например, множество чётных делителей 12 — подмножество всех делителей 12. Пустое множество считается подмножеством любого множества, а у множества из $n$ элементов ровно $2^n$ подмножеств: у множества из трёх элементов их 8.

Операция	Обозначение	Какие элементы входят	Пример для $A = \{1,2,3,4\}$ , $B = \{3,4,5\}$
Пересечение	$A \cap B$	лежащие в обоих множествах	$\{3, 4\}$
Объединение	$A \cup B$	лежащие хотя бы в одном	$\{1, 2, 3, 4, 5\}$
Разность	$A \setminus B$	лежащие в $A$ , но не в $B$	$\{1, 2\}$
Дополнение	$\overline{A}$	все элементы универсального множества, не входящие в $A$	зависит от универсального множества

В вероятности эти операции получают свои имена: пересечение событий — «произошли оба», объединение — «произошло хотя бы одно», дополнение — противоположное событие. Связь подробно показана в материале сложение и умножение вероятностей.

Круги Эйлера и формула включений и исключений

Круги Эйлера — это рисунок, на котором каждое множество изображено кругом, а общие элементы — пересечением кругов. Для двух множеств работает формула $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ .

В классе 28 учеников. 16 из них учатся в музыкальной школе, 11 занимаются в спортивной секции, 5 успевают и то и другое. Сколько учеников не заняты ни в музыкальной школе, ни в секции? Сколько учатся только музыке?

Решение. Рисуем два пересекающихся круга и начинаем с середины: в пересечение вписываем 5. Тогда только музыкой занимаются $16 - 5 = 11$ учеников, только спортом — $11 - 5 = 6$ . Хотя бы одним занятием заняты $11 + 5 + 6 = 22$ , или по формуле $16 + 11 - 5 = 22$ . Свободны $28 - 22 = 6$ учеников.

Главное правило рисунка — заполнять области от центра к краям. Если начать с внешних чисел, пересечение окажется посчитанным дважды, и сумма областей превысит общее число учеников. Для трёх множеств формула длиннее: $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$ . Тройное пересечение добавляют обратно, потому что при вычитании попарных пересечений оно ушло три раза.

Миф: «если 16 человек любят одно и 11 другое, то всего их 27». Это неверно, пока не известно пересечение: общая часть может быть от 0 до 11 человек, и ответ меняется от 27 до 16. Сложение без вычитания пересечения допустимо только тогда, когда множества не пересекаются.

Графы: вершины, рёбра и степени

Граф — это набор точек-вершин и линий-рёбер, каждая из которых соединяет две вершины. Степень вершины — число рёбер, выходящих из неё; петлю в школьных задачах обычно не рассматривают.

Графом можно изобразить что угодно, где есть связи: города и дороги между ними, людей и знакомства, команды и сыгранные матчи. Форма линий и расположение точек не важны — важно только, какие вершины соединены. Поэтому один и тот же граф можно нарисовать совершенно по-разному.

Главный факт о степенях — это теорема, которую называют леммой о рукопожатиях: сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер. Каждое ребро имеет два конца и добавляет единицу к степени каждого. Отсюда следствие: число вершин нечётной степени в любом графе чётно. Например, у графа со степенями 1, 2, 2, 3, 3, 3 сумма равна 14, значит, рёбер 7.

Граф, в котором каждая пара вершин соединена, называется полным. В полном графе на $n$ вершинах $\frac{n(n-1)}{2}$ рёбер: у каждой из $n$ вершин степень $n - 1$ , а сумму делим на 2. Турнир 8 команд «каждый с каждым» — это 28 матчей. То же число даёт формула сочетаний из статьи о правилах комбинаторики: $C_8^2 = 28$ .

Пути, циклы, связность и деревья

Путь в графе — это последовательность вершин, в которой соседние соединены рёбрами; цикл — путь, который возвращается в начальную вершину. Граф связный, если из любой вершины можно дойти до любой другой.

Дерево — связный граф без циклов. У дерева с $n$ вершинами ровно $n - 1$ рёбер: убери любое ребро — граф распадётся на две части, добавь любое — появится цикл. Дерево исходов в задачах на вероятность устроено именно так: из корня выходят ветки первого шага, из каждой ветки — ветки второго.

Классическая задача о мостах Кёнигсберга привела Эйлера к теореме, которая есть в любом учебнике по теории графов: связный граф можно обойти, пройдя по каждому ребру ровно один раз, только если вершин нечётной степени 0 или 2. При двух нечётных вершинах путь начинается в одной из них и заканчивается в другой; при нуле — замыкается в цикл. В Кёнигсберге нечётных вершин было четыре, поэтому прогулка по всем семи мостам без повторов невозможна.

Эта теорема отвечает и на детский вопрос «можно ли нарисовать фигуру, не отрывая карандаша». Посчитайте, сколько линий сходится в каждой точке: если нечётных точек больше двух, нарисовать фигуру одним росчерком не получится.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы содержит 9 собственных задач на множества и графы: круги Эйлера для двух и трёх множеств, степени вершин, полные графы, деревья и эйлеровы пути.

Введите ответ в поле и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» раскрывает разбор, «Следующая задача →» переходит дальше, задачи идут по кругу. В двух задачах нужно выбрать номер верного варианта. Решайте сначала на бумаге: нарисованные круги или вершины с подписанными степенями сразу показывают ошибку подсчёта.

Не путать: полный граф и дерево — противоположные крайности. В полном графе на 10 вершинах 45 рёбер, в дереве на тех же 10 вершинах — всего 9. Связи в задачах на классическую вероятность чаще описываются деревом.

Когда рисунок кругами не подходит

Если групп больше трёх, рисунок кругами становится нечитаемым, и надёжнее считать по формуле или таблице.

Если групп 4 и больше, круги не дают всех 15 областей пересечений — нужна таблица или формула включений и исключений.
Если в условии из 2 групп не дано пересечение, а спрашивают точное число, задача имеет диапазон ответов, и рисунок не спасёт: ищите недостающее условие.
Если точек на схеме больше 10, рисовать её целиком долго: работайте со списком степеней и леммой о рукопожатиях.
Если вопрос о вероятности, а не о количестве, круги помогают лишь на 1-м шаге из 2 — дальше нужны правила сложения вероятностей.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять ответу, в котором сумма областей рисунка не совпадает с общим числом объектов: это первая и самая быстрая проверка.

Нельзя складывать численности пересекающихся групп без вычитания общей части.
Нельзя заполнять круги Эйлера с краёв: начинайте с самого внутреннего пересечения.
Не следует считать линии по рисунку, если известны степени: сумма степеней, делённая на 2, надёжнее.
Не следует путать путь и цикл: эйлеров цикл требует, чтобы нечётных точек не было вовсе.
Не стоит рисовать схему «красиво» ценой точности: расположение точек не важно, важна каждая линия.
Не стоит учить формулу для трёх групп без понимания: проще один раз вывести её по рисунку из семи областей.

Как связать тему с другими разделами

Чтобы эти знания работали на экзамене, их применяют в 3 местах: перебор исходов, противоположное событие и логические утверждения.

Перебор исходов — это составление списка всех исходов опыта и отбор благоприятных; вероятность равна отношению их количеств. Работает это только при равновозможных исходах, иначе классическая формула не подходит. Противоположное событие — дополнение до всех исходов, отсюда формула $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ . А задачи на анализ утверждений в базовом ЕГЭ, где про людей или предметы сказано «некоторые» и «все», решаются кругами Эйлера почти механически: см. статью про логические задачи в задании 8.

Учебник Высоцкого и Ященко прямо использует эти схемы в главах о переборе. Метод Пойи^[3] «нарисуй схему, введи обозначения» здесь особенно нагляден: круг или точка с подписью превращают запутанное словесное условие в картинку, на которой ответ виден.

Источники

[1] Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

[3] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

[4] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

Вопросы и ответы

Зачем девятикласснику множества и графы?

Они входят в курс вероятности и статистики и помогают перебирать исходы без пропусков. Тот, кто умеет нарисовать дерево вариантов, реже ошибается в задачах на вероятность.

Чем граф отличается от графика функции?

Это разные объекты с похожими названиями. График функции — линия на координатной плоскости, а здесь речь о схеме из точек и соединяющих их отрезков, где координаты не важны.

Можно ли решать задачи на круги Эйлера без рисунка?

Можно, по формуле включений и исключений. Но рисунок занимает не более минуты и сразу показывает, сколько объектов попадает в каждую область, поэтому для трёх групп он надёжнее.

Что такое степень вершины простыми словами?

Это число линий, сходящихся в точке. Если точка — человек, а линии — рукопожатия, степень равна числу людей, которым он пожал руку. Больше $n - 1$ она быть не может.

Почему у дерева рёбер на одно меньше, чем вершин?

Строим дерево по одной точке: первая стоит одна, а каждая следующая присоединяется ровно одной новой линией. Значит, линий на одну меньше, и ни одна лишняя не появится без цикла.

Как понять, сколько областей у трёх кругов?

У трёх пересекающихся кругов 7 внутренних областей и ещё одна снаружи. Каждая область отвечает своему набору «входит — не входит» для трёх свойств, и всего таких наборов $2^3 = 8$ .