Как решать логарифмические уравнения в заданиях 7 и 14 профиля

Определение логарифма и три приёма решения

Логарифм $\log_a b$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$, при условиях $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$. Из определения следуют все приёмы решения уравнений.

• По определению. Уравнение $\log_a f(x) = c$ равносильно $f(x) = a^c$. Здесь ОДЗ выполняется автоматически: $a^c$ всегда положительно.
• Потенцирование. Уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ сводится к $f(x) = g(x)$, но только при условии $f(x) > 0$ (или $g(x) > 0$).
• Замена. Если логарифм входит в уравнение во второй степени или в знаменателе, обозначают $t = \log_a x$ и решают квадратное или дробное уравнение.

Свойства логарифма — сумма, разность, вынесение степени, переход к новому основанию — служат подготовкой: они приводят уравнение к одному из трёх видов. Если какое-то свойство вызывает сомнения, повторите его на странице логарифм и его свойства; там же разобраны значения выражений без переменной.

Логарифмические уравнения отличаются от остальных одной особенностью: преобразования, верные для чисел, не всегда равносильны для выражений с переменной. Поэтому порядок действий постоянный — сначала ОДЗ, затем упрощение, потом решение и сверка корней с ОДЗ. По кодификатору ФИПИ логарифмы входят в обязательное содержание курса алгебры и начал анализа, и в учебнике Колмогорова^[1] эта тема идёт сразу после показательной функции: многие приёмы там общие. Если вы уверенно решаете квадратные уравнения и знаете три свойства логарифма, этого достаточно для любого уравнения первой части.

ОДЗ: что выписать до любых преобразований

ОДЗ логарифмического уравнения — это система условий: каждый аргумент логарифма больше нуля, каждое основание больше нуля и не равно 1. Её записывают в первой строке решения, чтобы в конце проверить каждый корень.

Например, для уравнения $\log_2(x - 1) = \log_2(7 - x)$ ОДЗ задаётся системой $x - 1 > 0$, $7 - x > 0$, то есть $1 < x < 7$. Корень $x = 4$, полученный из равенства аргументов, в этот промежуток попадает. Если бы получилось $x = 8$, его пришлось бы отбросить как посторонний, даже при верной арифметике.

Главная опасность в том, что свойства логарифмов меняют ОДЗ. Формула суммы расширяет её, вынесение чётной степени сужает. Таблица показывает, где именно возникает посторонний корень или теряется верный.

Пример потери корня: уравнение $\log_5 x^2 = 2$ даёт $x^2 = 25$, то есть $x = 5$ и $x = -5$, и оба корня верны. Если же сразу написать $2\log_5 x = 2$, останется только $x = 5$. Учебник Мордковича^[2] разбирает обе ловушки и советует при любом сомнении выписывать ОДЗ исходного уравнения, а не преобразованного.

Миф: «если в конце сделать проверку подстановкой, об ОДЗ можно не думать». Это неверно: проверка отсекает посторонние корни, но не возвращает корни, потерянные при сужении ОДЗ. А в задании 14 без явной ссылки на ОДЗ или проверку решение считается необоснованным и теряет балл.

Простейшие логарифмические уравнения задания 7

В задании 7 (в 2026 году — № 6) логарифмические уравнения обычно решаются в 1–2 действия по определению или приравниванием аргументов. Ответ — одно число, оформление не проверяется.

Решите уравнение $\log_3(x - 4) = 2$.

По определению $x - 4 = 3^2 = 9$, откуда $x = 13$. Проверка: $\log_3 9 = 2$. Ответ: 13.

Решите уравнение $\log_{\frac12}(3 - x) = -3$.

$3 - x = \left(\frac12\right)^{-3} = 8$, значит, $x = -5$. Отрицательный ответ не должен смущать: ограничение наложено на аргумент $3 - x = 8 > 0$, а не на сам $x$. Ответ: −5.

Если по обе стороны стоят логарифмы с одинаковым основанием, как в $\log_5(2x + 1) = \log_5(x + 7)$, приравниваем аргументы: $x = 6$. Проверяем один из них: $6 + 7 = 13 > 0$ — корень подходит. Базовый уровень содержит похожие задачи в задании 17; их особенности разобраны в материале уравнения в базовом ЕГЭ. Номер 7 профиля целиком описан на странице задание 7 профильного ЕГЭ.

Потенцирование: от суммы логарифмов к одному

Потенцирование — это переход от равенства логарифмов к равенству их аргументов. Перед ним сумму или разность логарифмов собирают в один логарифм, и именно здесь появляются посторонние корни.

Решите уравнение $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 3) = 5$.

ОДЗ: $x - 1 > 0$ и $x + 3 > 0$, то есть $x > 1$. Собираем сумму: $\log_2\big((x - 1)(x + 3)\big) = 5$, откуда $(x - 1)(x + 3) = 32$, $x^2 + 2x - 35 = 0$. По теореме Виета корни $5$ и $-7$. Число $-7$ в ОДЗ не входит: при нём оба аргумента отрицательны, хотя их произведение $(-8)(-4) = 32$ положительно. Ответ: 5.

Этот пример показывает, почему ОДЗ выписывают для исходного уравнения. После объединения логарифмов условие $(x - 1)(x + 3) > 0$ пропускает $x = -7$, и без первой строки решения посторонний корень попал бы в ответ.

Переход к одному основанию

Если основания разные, но являются степенями одного числа — 2, 4, 8, 16 или 3, 9, 27, — их приводят к общему основанию по формуле $\log_{a^k} b = \frac1k \log_a b$.

Решите уравнение $\log_4 x + \log_2 x = 6$.

ОДЗ: $x > 0$. Так как $\log_4 x = \frac12 \log_2 x$, получаем $\frac32 \log_2 x = 6$, $\log_2 x = 4$, $x = 16$. Проверка: $\log_4 16 + \log_2 16 = 2 + 4 = 6$. Ответ: 16.

Когда основания не связаны степенями, например 2 и 3, помогает общая формула перехода $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. В заданиях первой части такие случаи редки, а во второй обычно маскируют замену: $\log_2 x$ и $\log_x 2$ — взаимно обратные числа.

Замена переменной и пример в формате задания 14

Если после преобразований логарифм стоит в квадрате, уравнение становится квадратным относительно $t = \log_a x$. В задании 14 к такому уравнению добавляют пункт б) — отбор корней на отрезке с нерациональными концами.

а) Решите уравнение $\log_3^2(9x) - 7\log_3 x - 2 = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_2 5; 2\sqrt5\right]$.

ОДЗ: $x > 0$. Раскладываем $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$ и обозначаем $t = \log_3 x$: $(2 + t)^2 - 7t - 2 = 0$, $t^2 - 3t + 2 = 0$, $t = 1$ или $t = 2$. Отсюда $x = 3$ или $x = 9$; оба числа положительны. Ответ пункта а): 3; 9.

Для пункта б) сравниваем корни с концами без калькулятора. Так как $4 < 5 < 8$, имеем $2 < \log_2 5 < 3$. Далее $2\sqrt5 = \sqrt{20}$, а $3 = \sqrt9 < \sqrt{20} < \sqrt{81} = 9$. Значит, $\log_2 5 < 3 < 2\sqrt5 < 9$: отрезку принадлежит только $x = 3$. Ответ пункта б): 3.

Критерии оценивания задания 14 по проекту спецификации ФИПИ^[3] требуют обоснования именно таких сравнений: запись «$\log_2 5 \approx 2{,}32$» без оценки через степени двойки обоснованием не считается. Общие правила баллов за номер — на странице задание 14 с развёрнутым ответом.

Уравнения с переменным основанием

Если переменная стоит в основании логарифма, к ограничениям добавляются 2 условия: основание больше нуля и не равно 1. Второе условие чаще всего забывают.

Решите уравнение $\log_x(3x - 2) = 2$.

Условия: $x > 0$, $x \ne 1$, $3x - 2 > 0$. По определению $x^2 = 3x - 2$, $x^2 - 3x + 2 = 0$, корни $1$ и $2$. Корень $x = 1$ не подходит: логарифм по основанию 1 не определён, хотя аргумент $3 - 2 = 1$ положителен. Ответ: 2.

Второй типичный сюжет — пара $\log_2 x$ и $\log_x 2$. В уравнении $\log_2 x - 2\log_x 2 = 1$ замена $t = \log_2 x$ даёт $t - \frac{2}{t} = 1$, то есть $t^2 - t - 2 = 0$ при $t \ne 0$. Получаем $t = 2$ или $t = -1$, откуда $x = 4$ или $x = \frac12$. Условие $t \ne 0$ равносильно $x \ne 1$, и оба корня ему удовлетворяют.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» в начале страницы содержит 8 уравнений: 4 в формате задания 7 и 4 более длинных, где ответ сведён к сумме или произведению корней. Под каждой задачей есть поле «Ответ» и кнопки «Проверить», «Решение» и «Следующая задача →».

Сначала решайте на бумаге, обязательно с первой строкой ограничений, и лишь потом вводите число. Решение без подсказки запоминается прочнее, чем перечитывание разборов: такой эффект проверочного воспроизведения подтверждён в исследовании Roediger и Karpicke^[4]. Задачи идут по кругу, поэтому через несколько дней блок можно пройти заново.

Когда потенцирование не работает

Не каждое уравнение с логарифмами решается приравниванием аргументов: в нескольких ситуациях сначала нужен другой шаг.

• Если основания разные и не являются степенями одного числа, например 2 и 5, сначала нужен переход к новому основанию.
• Если справа стоит число, например $\log_3(x + 1) + \log_3 x = 1$, число 1 надо записать как $\log_3 3$ — иначе потенцировать нечего.
• Если логарифм стоит во 2-й степени или в знаменателе, приравнивание аргументов невозможно — нужна замена.
• Если переменная есть и в показателе, и под логарифмом, как в $x^{\lg x} = 100$, сначала логарифмируют обе части по основанию 10.

Чего делать нельзя

Нельзя считать уравнение решённым, пока каждый корень не сверен с условиями: в логарифмической теме именно это отделяет 2 балла от 0.

• Нельзя выписывать ограничения после преобразований: они должны относиться к исходному уравнению.
• Нельзя заменять $\log_a x^2$ на $2\log_a x$ без модуля — теряется отрицательный корень.
• Не следует «сокращать» логарифмы, как дроби: $\frac{\log_2 8}{\log_2 4}$ равно $\frac32$, а не $\log_2 2$.
• Не следует забывать условие $x \ne 1$ в уравнениях вида $\log_x f(x) = c$.
• Не стоит оставлять в ответе корень, при котором аргумент равен нулю: логарифм нуля не определён.
• Не допускается сравнивать логарифм с концом отрезка по калькуляторному приближению — нужна оценка через степени.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

[5] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Обязательно ли писать ограничения в задании 7?

Нет, там проверяется только число в бланке. Но мысленно сверить корень с условием «аргумент больше нуля» нужно: иначе можно записать посторонний корень.

Что лучше: область допустимых значений или подстановка?

Оба способа законны. Ограничения удобнее, когда корни иррациональные и подставлять их тяжело; подстановка — когда корни целые, а условий много.

Как записать ответ, если корень — логарифм?

В задании 14 оставляйте точную запись, например $\log_3 7$. В задании 7 такой ответ не встретится: там корень всегда записывается конечной десятичной дробью или целым числом.

Где брать задачи для тренировки?

Подходят сборники типовых вариантов под редакцией Ященко^[5]: в каждом варианте есть простое уравнение первой части и уравнение второй части.

Можно ли решать логарифмические уравнения графически?

Как прикидку — да, особенно чтобы понять число корней. Но график не обосновывает точное значение корня, поэтому в решение его включают только как дополнение.

Чем отличаются десятичный и натуральный логарифмы?

Только основанием: $\lg x = \log_{10} x$, $\ln x = \log_e x$. Все свойства и приёмы решения для них те же, что для любого другого основания.