Логарифм с нуля: определение, основное тождество и смена основания

Что такое логарифм и когда он определён

Запись $\log_a b = c$ означает ровно то же, что $a^c = b$. Логарифм определён только при трёх условиях: $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$.

Каждое ограничение имеет причину. Основание 1 не годится, потому что $1^c = 1$ при любом $c$, и получить, например, 5 невозможно. Отрицательное основание не подходит, так как степени отрицательного числа с дробными показателями не определены. А аргумент $b$ должен быть положительным, потому что положительное основание в любой степени даёт положительное число. Поэтому выражения $\log_2 0$, $\log_3(-9)$ и $\log_1 5$ не имеют смысла.

Простейшие значения вычисляются по определению: $\log_3 81 = 4$, $\log_5 \frac{1}{25} = -2$, $\log_{\frac12} 4 = -2$, $\log_{\sqrt3} 9 = 4$. Удобно проговаривать вопрос: «в какую степень надо возвести основание, чтобы получить это число?». В учебнике Колмогорова для 10–11 классов^[1] логарифм вводится именно так — как обратная операция к возведению в степень. Повторить степени помогает страница свойства степеней с рациональным показателем.

Если аргумент не является точной степенью основания, логарифм — иррациональное число, но его легко оценить. Так, $\log_2 10$ лежит между 3 и 4, потому что $2^3 = 8 < 10 < 16 = 2^4$. Такая оценка нужна, когда логарифм надо сравнить с целым числом или отметить на числовой прямой. Вычислять такие логарифмы точно на экзамене не требуется: без калькулятора задачи всегда составлены так, что после применения свойств логарифмов остаётся целое число или простая дробь. Если в ответе получилось что-то вроде $\log_3 7$, это сигнал перепроверить преобразования.

Миф: «логарифм не может быть отрицательным». Это неверно: отрицательным не может быть аргумент, а сам логарифм — любое число. Например, $\log_{10} 0{,}01 = -2$, потому что $10^{-2} = 0{,}01$.

Основное логарифмическое тождество

Основное логарифмическое тождество — это равенство $a^{\log_a b} = b$ при $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$. Оно прямо следует из определения: $\log_a b$ — это и есть тот показатель, который превращает $a$ в $b$.

Самый простой случай: $5^{\log_5 7} = 7$. Если показатель усложнён, сначала его преобразуют. Например, $3^{2\log_3 4} = \left(3^{\log_3 4}\right)^2 = 4^2 = 16$. Если основания степени и логарифма различаются, их приводят к одному: $8^{\log_2 3} = \left(2^3\right)^{\log_2 3} = \left(2^{\log_2 3}\right)^3 = 27$.

Тождество работает и в обратную сторону: любое положительное число можно записать как степень нужного основания, $7 = 5^{\log_5 7}$. Этим приёмом решают показательные уравнения с «неудобной» правой частью.

Тождество удобно проверять на простых числах: $2^{\log_2 8} = 2^3 = 8$. Если основание логарифма и основание степени не совпадают и не приводятся к одному числу, тождество напрямую не применяется — сначала используют формулу перехода к новому основанию. Типичная ошибка — считать, что $2^{\log_3 9}$ равно 9. На самом деле $\log_3 9 = 2$, и значение выражения равно $2^2 = 4$.

Свойства логарифмов: произведение, частное, степень

Свойства логарифмов — это 3 правила, которые превращают умножение в сложение, деление в вычитание, а возведение в степень — в умножение. Все они верны только для положительных аргументов и одного и того же основания.

Откуда берётся первое свойство: если $x = a^m$ и $y = a^n$, то $xy = a^{m+n}$, а значит, $\log_a(xy) = m + n$. Остальные доказываются так же — это прямые следствия теорем о степенях. Поэтому, если формула забылась, её можно восстановить за минуту на черновике. Учебник Мордковича для 10–11 классов^[5] так и предлагает запоминать свойства логарифмов: не как отдельный список, а как перевод известных правил для степеней.

Свойства логарифмов применяют в обе стороны. «Свернуть» выражение: $2\log_3 6 - \log_3 4 = \log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 9 = 2$. «Развернуть» логарифм с переменной: $\log_2(8x) = 3 + \log_2 x$ при $x > 0$. Первое направление нужно в вычислительных задачах, второе — в уравнениях и при исследовании функций. Проверить себя можно подстановкой: при $x = 5$ левая часть равна $\log_2 40$, правая — $3 + \log_2 5$, и обе дают одно и то же число.

Главная ловушка — применять свойства к сумме. Логарифм суммы не раскладывается: $\log_2 (4 + 4) = 3$, а $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$. Правило работает только для произведения внутри логарифма или для суммы логарифмов снаружи.

Миф: «$\log_a x^2 = 2\log_a x$ всегда». Формула верна только при $x > 0$. Для $x = -3$ левая часть равна $\log_a 9$ и определена, а правая не существует. Корректная запись в общем случае: $\log_a x^2 = 2\log_a |x|$.

Переход к новому основанию

Формула перехода — это способ заменить неудобное основание любым другим: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, где $c > 0$, $c \ne 1$.

Она выручает, когда основание и аргумент — степени одного числа. $\log_{27} 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 27} = \frac23$, $\log_4 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 4} = \frac52 = 2{,}5$, $\log_4 8 = 1{,}5$. Частный случай: $\log_a b \cdot \log_b a = 1$, то есть $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. Например, $\log_2 5 \cdot \log_5 2 = 1$. Новым основанием можно взять и 10: $\log_2 8 = \frac{\lg 8}{\lg 2} = 3$, потому что $\lg 8 = 3\lg 2$. Именно так логарифмы с любым основанием раньше вычисляли по таблицам десятичных логарифмов.

Ещё одно полезное следствие — «цепочка»: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$. Так, $\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4 = 2$. Звучит как фокус, но это та же формула перехода, записанная в одну строку. Эту формулу кодификатор относит к обязательным элементам содержания, и профильный ЕГЭ любит такие выражения в задании 8 (в 2026 году — задание 7) по проекту спецификации ФИПИ^[2].

Десятичный и натуральный логарифм

Запись $\lg x$ означает $\log_{10} x$, а запись $\ln x$ — $\log_e x$, где $e \approx 2{,}718$. Для них действуют все те же правила.

Запись $\lg$ показывает «порядок» числа: $\lg 1000 = 3$, $\lg 0{,}01 = -2$. Натуральный появляется в старших классах вместе с производной: производная функции $y = \ln x$ равна $\frac1x$. На экзаменах без калькулятора $\ln$ почти всегда встречается в сочетаниях вроде $\ln e = 1$ или $e^{\ln 5} = 5$ — это то же основное тождество. Графики и монотонность логарифмической функции разобраны отдельно в материале показательная и логарифмическая функции.

Как упрощать выражения: разбор задач

Чтобы упростить такое выражение, действуйте в 3 шага: уравняйте основания, соберите всё в одно слагаемое по свойствам и вычислите по определению.

Найдите значение выражения $\log_2 48 - \log_2 3$.

Основания одинаковые, применяем свойство частного: $\log_2 \frac{48}{3} = \log_2 16 = 4$. Проверка: $2^4 = 16$. Ответ: 4.

Найдите значение выражения $3\log_5 25 - 6^{\log_6 2}$.

$\log_5 25 = 2$, поэтому первое слагаемое равно 6. Второе — по основному тождеству — равно 2. Ответ: $6 - 2 = 4$.

Такой тип задач — это задание 16 базового ЕГЭ (выражения с корнями, степенями, логарифмами и тригонометрией), оно стоит 1 балл^[3]. Подробный разбор номера с типичными ловушками — на странице задание 16 ЕГЭ базового уровня. Решение уравнений, где неизвестное стоит под логарифмом, требует ещё и проверки области определения — этому посвящён материал логарифмические уравнения с ОДЗ.

Тренажёр задания 16

Тренажёр вверху страницы — это генератор задания 16 базового ЕГЭ с бесконечными вариантами: суммы логарифмов, основное тождество и выражения с корнями.

Решите задачу, введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» покажет разбор, «Следующая задача →» создаст новый вариант, а счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов помогут отследить серию. Хороший ориентир — 10 верных ответов подряд без подсказки. Регулярные короткие подходы с перерывами полезнее одной долгой тренировки — это подтверждает метаанализ Cepeda и соавторов о распределённом повторении^[4].

Когда формула не подходит

Не всякое такое выражение упрощается напрямую. Вот случаи, где формулы применять нельзя или нужна оговорка.

• Если под знаком стоит сумма, например 4 + 4, разложить её на два слагаемых нельзя — сначала вычислите сумму.
• Если основания разные (например, 2 и 3) и не являются степенями одного числа, свойства произведения и частного не применяются без перехода к новому основанию.
• Если аргумент может быть отрицательным, вынос показателя 2 требует модуля.
• Если основание равно 1 или меньше 0, логарифм не определён, и никакие преобразования такую запись не спасут.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять «похожим» формулам: почти все ошибки в теме — это несуществующие правила.

• Нельзя раскладывать логарифм суммы или разности на сумму логарифмов.
• Нельзя «сокращать» дробь вида $\frac{\log_2 8}{\log_2 4}$ до $\log_2 2$: её значение равно 1,5, а не 1.
• Не следует складывать логарифмы с разными основаниями, не приведя их к одному.
• Не следует забывать условия $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$ при переходе к уравнениям.
• Не стоит выносить чётный показатель без модуля, если знак аргумента неизвестен.
• Не допускается калькулятор на ЕГЭ, поэтому значения вроде $\log_2 32$ нужно узнавать сразу.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[5] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

Вопросы и ответы

Есть ли свойства логарифмов в справочных материалах ЕГЭ?

Рассчитывать на подсказку не стоит: формулы нужно знать наизусть. Их немного, и все выводятся из свойств степеней за пару строк.

Чем lg отличается от log?

$\lg x$ — сокращение для $\log_{10} x$. Запись $\log x$ без нижнего индекса в школьных задачах не используют.

Может ли логарифм равняться нулю?

Да, при аргументе 1: $\log_a 1 = 0$ для любого допустимого основания, потому что $a^0 = 1$.

Как быстро вычислить логарифм без калькулятора?

Представьте аргумент как степень основания. Помогает знание степеней двойки до $2^{10} = 1024$, тройки до $3^6 = 729$ и пятёрки до $5^4 = 625$.

Зачем нужен переход к новому основанию?

Чтобы свести разные основания к одному и применить остальные свойства. Без него выражения вроде $\log_4 8$ или $\log_{27} 9$ не вычисляются.

В каком классе изучают логарифмы?

По ФОП среднего общего образования — в 10–11 классах. На ОГЭ логарифмов нет, на ЕГЭ они встречаются и на базовом, и на профильном уровне.