Интерактивная единичная окружность: синус, косинус и тангенс угла

Как устроен тригонометрический круг онлайн

Тригонометрический круг онлайн — это блок «Тригонометрический круг»: слева окружность с осями, справа ползунок «Угол, градусы», ряд кнопок стандартных углов и три ячейки со значениями sin, cos и tg.

На окружности отмечены 16 точек — все углы от 0° до 330°, кратные 30° или 45°. Выбранный угол рисуется красным радиусом с жирной точкой на конце, а у центра — дугой, показывающей направление поворота. От точки к осям идут синие пунктирные перпендикуляры: тот, что падает на горизонтальную ось с подписью cos, отмечает косинус, а тот, что идёт к вертикальной оси с подписью sin, — синус.

Ползунок меняет угол с шагом 15° в диапазоне от −360° до 720°. Под ним — кнопки 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 270°, 300° и 330°: одно нажатие сразу ставит угол и сдвигает ползунок. Углы 225°, 240° и 315° на кнопки не вынесены, но ползунком до них легко дойти.

В правом верхнем углу блока написано, чему угол равен в радианах, например «30° = π/6». Ниже три ячейки: для углов, кратных 30° или 45°, в них точные значения с корнями и дробями, для остальных — приближения до сотых с пометкой «≈». Если тангенс не существует, в ячейке так и написано: «не определён».

Градусы и радианы: что показывает шапка

Радианная мера — это градусная мера, умноженная на $\frac{\pi}{180}$; инструмент делает перевод сам и записывает результат несократимой дробью от $\pi$.

Например, для 135° получается $135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$: числитель и знаменатель сокращены на 45. Попробуйте сначала перевести угол в уме, а потом выставить его ползунком и сверить с шапкой — это самый быстрый способ перестать путать $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{4}$.

Теория — почему радиан связан с длиной дуги и как определять четверть по знаку — изложена на странице о том, как устроена единичная окружность. Здесь круг онлайн нужен для тренировки: выставили угол, назвали радианы, проверили.

Точные значения: какие углы инструмент знает

Точные значения инструмент выдаёт для 16 положений ползунка за один оборот — всех углов, кратных 30° или 45°; для углов вроде 15°, 75° или 105° он показывает приближения.

Точные значения строятся из трёх чисел первой четверти — $\frac12$, $\frac{\sqrt2}{2}$ и $\frac{\sqrt3}{2}$ — и знаков по четвертям. Пройдите по кнопкам 120°, 135°, 150° и посмотрите, как точка на окружности уходит во II четверть: синус остаётся положительным, а косинус меняет знак. Ниже — значения, которые инструмент показывает во второй и третьей четвертях.

Если поставить ползунок на 15°, ячейки покажут sin ≈ 0,26, cos ≈ 0,97, tg ≈ 0,27. Точное значение $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ выводится по формуле синуса разности, и оно действительно близко к 0,2588. Такие углы на экзамене встречаются только в задачах на формулы, поэтому приближение здесь — подсказка для самопроверки, а не ответ. Полная таблица и способ её не учить — в справочнике значений тригонометрических функций.

Миф: «таблицу синусов и косинусов для всех углов нужно выучить наизусть». Это неверно: достаточно трёх значений первой четверти и правила знаков, остальное восстанавливается по симметрии окружности. Отдельной таблицы для каждой четверти учить не нужно — круг онлайн показывает, что точки 30°, 150°, 210° и 330° отличаются только знаками координат.

Углы больше 360° и отрицательные углы

Если угол больше 360° или меньше 0°, точка на окружности всё равно одна из уже знакомых: углы, отличающиеся на 360°, дают одну и ту же точку и одинаковые значения функций.

Поставьте ползунок на 30°, затем на 390° и на −330°: красный радиус останется на месте, ячейки покажут те же $\frac12$, $\frac{\sqrt3}{2}$ и $\frac{\sqrt3}{3}$, меняется только запись в радианах — $\frac{\pi}{6}$, $\frac{13\pi}{6}$ и $-\frac{11\pi}{6}$. Так на окружности выглядит периодичность синуса и косинуса с периодом $2\pi$. Для тангенса период вдвое меньше: сравните 45° и 225° — тангенс в обоих случаях равен 1, хотя точки противоположны.

На окружности отрицательный угол откладывается по часовой стрелке: дуга у центра поворачивает вниз. Это помогает увидеть чётность косинуса: $\cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac12$, а синус меняет знак: $\sin(-60^\circ) = -\frac{\sqrt3}{2}$. Учебник Колмогорова вводит эти свойства как прямое следствие симметрии точек относительно оси абсцисс^[1].

Шесть упражнений для самопроверки

Чтобы круг тренировал, а не подсказывал, в каждом упражнении сначала дайте ответ сами, а потом проверьте его на экране.

1. Знак до значения. Назовите знаки синуса и косинуса для 210°, 300° и 135°, затем нажмите кнопки и сверьте.
2. Все решения на промежутке. Найдите все углы от 0° до 720°, где синус равен $\frac12$. Ответ: 30°, 150°, 390° и 510° — проверьте каждый на экране.
3. Отрицательный косинус. Найдите углы от 0° до 360°, где $\cos x = -\frac{\sqrt2}{2}$: это 135° и 225°.
4. Где нет тангенса. Отметьте все углы от −360° до 720°, где tg «не определён»: это ±90°, ±270°, 450° и 630°.
5. Радианы на слух. Переведите $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{7\pi}{4}$ в градусы и найдите эти углы на экране: 150°, 240°, 315°.
6. Значение выражения. Вычислите $4\cos\frac{2\pi}{3} \cdot \sin\frac{5\pi}{6}$. По кругу $\cos 120^\circ = -\frac12$, $\sin 150^\circ = \frac12$, поэтому выражение равно $4 \cdot \left(-\frac12\right) \cdot \frac12 = -1$.

Второе упражнение — это уже отбор корней на промежутке, который нужен в задании 14 профиля. Как оформлять такой отбор на экзамене, разобрано в статье о тригонометрических уравнениях с отбором корней.

Где круг пригодится на ЕГЭ

Круг нужен в 4 номерах ЕГЭ: в задании 16 базового уровня и в заданиях 7, 8 и 14 профильного уровня по проекту ФИПИ 2027 года.

На базе в задании 16 встречаются выражения с тригонометрическими функциями, где нужно знать значения основных углов и знаки. В профиле задание 8 — преобразования выражений, в том числе тригонометрических, задание 7 — простейшие уравнения, а задание 14 с развёрнутым ответом требует найти серии корней и отобрать те, что лежат на отрезке^[2]. Во всех случаях выручает одно умение: мгновенно видеть нужную точку и её координаты.

На экзамене экранного круга не будет, поэтому цель тренировки — научиться рисовать его от руки за 30 секунд: оси, круг, точки 30°, 45°, 60° в каждой четверти. После 10–15 упражнений с инструментом это обычно получается само.

Миф: «тангенс 90° равен бесконечности, и это можно записать в ответ». Не подтверждается: при 90° косинус равен нулю, и тангенс не определён — его просто не существует. Инструмент так и пишет, а на экзамене такой угол обычно означает, что его нужно исключить из ответа.

Когда этот круг не поможет

Не стоит ждать от круга того, для чего нужны формулы и навык записи решения: в нескольких ситуациях она бесполезна.

• Если угол не кратен 15°, например 20° или 50°, его не выставить, а точного значения не будет и в учебнике.
• Если нужно упростить выражение с переменной, например в задании 8 профиля, круг не заменяет формулы — нужны основное тождество и формулы приведения.
• Если до экзамена меньше 2 недель, а серии корней в задании 14 ни разу не записывались, тренировать надо оформление на бумаге.
• Если путаются синус и косинус после 20 попыток, сначала нарисуйте круг от руки 5 раз подряд — экран здесь не помогает.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать круг в шпаргалку: он полезен, только если вы сначала отвечаете сами, а потом проверяете.

• Нельзя записывать в бланк приближения вроде 0,87 вместо $\frac{\sqrt3}{2}$, если задача требует точного вычисления выражения.
• Нельзя писать, что тангенс 90° или 270° равен нулю или бесконечности: он не определён.
• Не следует путать оси: косинус — по горизонтали, синус — по вертикали, и ошибка здесь меняет ответ.
• Не следует откладывать отрицательный угол против часовой стрелки — поворот на −45° идёт вниз.
• Не стоит нажимать кнопки угла раньше, чем назван ответ: так тренируется только память на картинку.
• Не стоит считать круг заменой формул приведения: для выражений с переменной они всё равно нужны.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[4] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Почему угол меняется с шагом 15°?

Шаг 15° покрывает все стандартные углы — кратные 30° и 45° — и оставляет промежуточные вроде 15° и 75° для сравнения с приближёнными значениями.

Можно ли задать угол в радианах?

Ввод идёт в градусах, но радианная мера сразу показывается в правом верхнем углу блока. Чтобы найти $\frac{7\pi}{6}$, переведите его в 210° и выставьте его.

Почему для 15° значения приближённые?

Точное значение для 15° содержит разность корней и выводится по формулам сложения, поэтому инструмент показывает его до сотых. Для экзамена важнее точно знать углы, кратные 30° и 45°.

Чем этот круг онлайн отличается от рисунка в учебнике?

Рисунок в учебнике Мордковича^[3] статичен, а здесь точка двигается, и сразу видно, как меняются знаки и значения. Для понимания периодичности это нагляднее.

Нужен ли он для ОГЭ?

Почти нет: на ОГЭ синус, косинус и тангенс встречаются в прямоугольном треугольнике для острых углов. Круг понадобится в 10–11 классах и на ЕГЭ.

Работает ли круг на телефоне?

Да, регулятор угла и кнопки работают касанием. На узком экране чертёж и ячейки со значениями располагаются друг под другом.