Единичная окружность: как читать синус и косинус по точке

Как устроен тригонометрический круг

Единичная окружность — это окружность $x^2 + y^2 = 1$: центр в точке $O(0; 0)$, радиус 1. Угол отсчитывают от точки $P_0(1; 0)$ на положительной полуоси абсцисс, а направление против часовой стрелки считают положительным.

Поворот на угол $\alpha$ переводит начальную точку $P_0$ в точку $P_\alpha$. Вся тригонометрия школьного курса держится на одном соглашении: координаты этой точки и есть косинус и синус угла, $P_\alpha(\cos\alpha; \sin\alpha)$. Так определяют функции в учебнике Колмогорова для 10–11 классов^[1], и так же они вводятся в ФОП среднего общего образования^[3].

Отсюда сразу видно, почему синус и косинус не могут быть больше 1 или меньше −1: координаты точки единичной окружности не выходят за пределы отрезка $[-1; 1]$. Если в ответе задачи получился $\sin x = 1{,}2$, решение где-то сломалось — такого значения не существует.

Окружность делят осями на четыре четверти. Первая — от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, вторая — от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, третья — от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$, четвёртая — от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$. Ни одна из точек на самих осях ($0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$) не входит ни в одну четверть: в ней одна из координат равна нулю.

Радианы: перевод из градусов и обратно

Радиан — это центральный угол, который опирается на дугу длиной в один радиус. Полный оборот содержит $2\pi$ радиан, поэтому $180^\circ = \pi$, а 1 радиан примерно равен $57{,}3^\circ$.

Для перевода нужна одна пропорция. Градусы в радианы: умножить на $\frac{\pi}{180}$. Радианы в градусы: подставить $\pi = 180^\circ$. Например, $210^\circ = 210 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{6}$, а $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 135^\circ$.

Важная тонкость: запись $\sin 2$ означает синус двух радиан, а не двух градусов. Чтобы понять, где лежит такая точка, полезно помнить приближения: $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$, $\pi \approx 3{,}14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$, $2\pi \approx 6{,}28$. Число 2 лежит между 1,57 и 3,14 — значит, угол 2 радиана находится во второй четверти, и $\sin 2 \gt 0$, а $\cos 2 \lt 0$. Угол 4 радиана попадает в третью четверть, угол 6 радиан — в четвёртую.

Миф: «радианы нужны только в профиле, на базе всё в градусах». Это неверно: задание 16 базового уровня^[4] проверяет значения выражений с тригонометрией, а аргумент вроде $\frac{5\pi}{6}$ без радиан не прочитать. Отдельной «градусной» тригонометрии для базы не существует.

Синус и косинус как координаты точки

Чтобы найти синус или косинус по кругу, отмечают точку поворота и опускают перпендикуляры на оси: проекция на ось абсцисс даёт $\cos\alpha$, на ось ординат — $\sin\alpha$. Тангенс равен их отношению $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Возьмём угол $150^\circ$. Он на $30^\circ$ не доходит до $180^\circ$, поэтому его точка симметрична точке $30^\circ$ относительно оси ординат: высота та же, абсцисса меняет знак. Получаем $\sin 150^\circ = \frac12$, $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}$. Точно так же $240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$ — точка симметрична точке $60^\circ$ относительно начала координат, обе координаты меняют знак: $\cos 240^\circ = -\frac12$, $\sin 240^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}$.

Тангенс удобно читать на отдельной оси — касательной к окружности в точке $(1; 0)$. Продолжение радиуса пересекает эту прямую в точке, ордината которой и есть $\operatorname{tg}\alpha$. При $\alpha = 90^\circ$ радиус параллелен оси тангенсов и не пересекает её, поэтому $\operatorname{tg} 90^\circ$ не определён — делить на $\cos 90^\circ = 0$ нельзя. То же верно для всех углов вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$.

Значения для 30°, 45° и 60° берутся из прямоугольного треугольника с гипотенузой 1, вписанного в круг: это та же тригонометрия острого угла, что и в 8–9 классе, только теперь угол может быть любым. Если острые углы ещё путаются, повторите синус и косинус в прямоугольном треугольнике, а полную сводку значений держите под рукой в справочнике таблица значений синуса и косинуса.

Знаки синуса, косинуса и тангенса по четвертям

Знак функции зависит только от четверти: синус положителен там, где точка выше оси абсцисс (I и II четверти), косинус — правее оси ординат (I и IV), тангенс — где знаки синуса и косинуса совпадают (I и III).

Учить таблицу наизусть не нужно: достаточно представить точку на окружности и спросить себя, выше или ниже она оси абсцисс, левее или правее оси ординат. Именно знак чаще всего решает задачу вида «найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = 0{,}6$ и $\alpha$ во второй четверти». По основному тождеству $\cos^2\alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, то есть $\cos\alpha = \pm 0{,}8$, а четверть оставляет только $-0{,}8$. Сами формулы, включая тождество, подробно разобраны на странице основные тригонометрические формулы.

Отрицательные углы и углы больше 360°

Если угол больше $360^\circ$ или отрицателен, точка всё равно лежит на той же окружности: каждый полный оборот $2\pi$ возвращает её на место. Поэтому синус и косинус — периодические функции с периодом $2\pi$.

Угол $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$ — это два полных оборота и ещё $30^\circ$, значит, $\sin 750^\circ = \sin 30^\circ = \frac12$. Угол $1000^\circ$: $1000 - 2 \cdot 360 = 280$, точка в четвёртой четверти, поэтому $\sin 1000^\circ \lt 0$, а $\cos 1000^\circ \gt 0$. Отрицательный угол откладывают по часовой стрелке: $-\frac{\pi}{6}$ — это точка, зеркальная $\frac{\pi}{6}$ относительно оси абсцисс, и $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac12$.

Из этой зеркальности следуют правила чётности: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (абсцисса не меняется), $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$. У тангенса период меньше — $\pi$: точки $\alpha$ и $\alpha + \pi$ диаметрально противоположны, обе координаты меняют знак, а их отношение остаётся тем же.

Серии решений тригонометрических уравнений — прямое следствие периодичности. Запись $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, означает: все углы, точка которых совпадает с точкой $\frac{\pi}{6}$. Как отбирать такие корни на отрезке, показано в разборе тригонометрические уравнения с отбором корней.

Миф: «угол больше 360 градусов не бывает». Неверно: в геометрии треугольника таких углов действительно нет, но угол поворота может быть любым действительным числом. Ограничение «от 0 до 360» в тригонометрии не подтверждается ни учебниками, ни кодификатором ЕГЭ.

Тригонометрический круг на этой странице: как тренироваться

Интерактивный тригонометрический круг вверху страницы показывает точку поворота для любого угла от $-360^\circ$ до $720^\circ$ с шагом $15^\circ$. Ползунок «Угол, градусы» двигает радиус, а в заголовке сразу появляется та же мера в радианах.

Под ползунком — кнопки стандартных углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 270°, 300°, 330°. Для них справа выводятся точные значения синуса, косинуса и тангенса, для остальных углов — приближённые. Пунктиром показаны проекции точки на оси, поэтому видно, откуда берётся каждое число.

1. Шаг 1. Назовите вслух четверть и знаки sin, cos, tg для угла, а потом нажмите кнопку и проверьте себя.
2. Шаг 2. Переведите угол в радианы на бумаге и сравните с подписью над кругом.
3. Шаг 3. Поставьте ползунок на 390° и на 30°: значения совпадут — это и есть период $360^\circ$.
4. Шаг 4. Сравните −45° и 45°: косинус одинаков, синус меняет знак.

Отдельная полноэкранная версия того же инструмента есть на странице интерактивный тригонометрический круг онлайн — удобно открыть её на телефоне рядом с тетрадью.

Где окружность нужна на ЕГЭ

На ЕГЭ единичная окружность работает в 4 типах заданий: значения выражений на базе (№ 16), преобразования (№ 8 профиля), простейшие уравнения (№ 7) и уравнения с отбором корней (№ 14, развёрнутый ответ).

По проекту спецификации профильного уровня ФИПИ 2027 года^[2] уравнение с отбором корней — задание 14 (в 2026 году — 13), оценивается 2 баллами. Пункт б) в нём часто решают именно по кругу: отмечают дугу заданного отрезка и считают точки серий на ней. Критерии оценивания ФИПИ допускают любой обоснованный способ отбора, поэтому на рисунке должны быть видны концы дуги и подписаны найденные точки.

На базовом уровне знание окружности помогает в задании 16 — найти значение выражения вроде $\sin\frac{5\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{3}$. Здесь достаточно определить точку, знак и опорный угол: $\frac{5\pi}{6}$ — это $150^\circ$, синус равен $\frac12$, косинус $\frac{\pi}{3}$ тоже $\frac12$, произведение $0{,}25$. Считать приходится без калькулятора, поэтому навык «увидеть» точку экономит минуты. По спецификации базового уровня ФИПИ каждое из 21 задания стоит 1 балл, и задание 16 ничем не дешевле остальных.

Когда круг не поможет

Не все задачи с синусом решаются картинкой: окружность даёт знак и точные значения, но не заменяет алгебру и формулы.

• Если нужно вычислить $\sin 2\alpha$ или $\cos(\alpha + \beta)$, одной точки мало — понадобятся формулы двойного угла и сложения, а это ещё 2–3 строки преобразований.
• Если угол нестандартный, например 20° или 1 радиан, точного значения на круге не прочитать — только оценку знака и величины.
• Если в задаче 3 и более серий решений, отбор по рисунку легко сбить; надёжнее двойное неравенство относительно $k$.
• Если до экзамена меньше 2 недель, а радианы не освоены, выгоднее вызубрить 5 опорных углов и знаки, чем пытаться понять всю теорию.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы на ошибках, которые видны по рисунку за 5 секунд, — большинство из них связано со знаком и мерой угла.

• Нельзя путать оси: косинус — абсцисса (горизонталь), синус — ордината (вертикаль).
• Нельзя считать $\sin 2$ синусом двух градусов: без значка градуса аргумент измеряется в радианах.
• Не следует извлекать корень из основного тождества без выбора знака по четверти.
• Не следует откладывать отрицательный угол против часовой стрелки.
• Не стоит писать значение тангенса для углов $\frac{\pi}{2} + \pi k$: там он не определён.
• Не стоит рисовать окружность «на глаз» без отмеченных точек 0, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ — ошибка в четверти почти гарантирована.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

[4] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[5] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

Вопросы и ответы

Чем тригонометрический круг отличается от обычной окружности?

Только соглашениями: радиус равен 1, центр в начале координат, отсчёт от точки $(1; 0)$ против часовой стрелки. Благодаря им координаты точки сразу дают косинус и синус.

Сколько значений нужно помнить наизусть?

Достаточно трёх опорных углов первой четверти — 30°, 45°, 60° — и точек на осях. Всё остальное получается симметрией и правилом знаков.

Почему синус не может быть равен 2?

Синус — ордината точки на окружности радиуса 1, а она не выходит за отрезок $[-1; 1]$. Уравнение $\sin x = 2$ решений не имеет.

Как быстро понять, в какой четверти угол 5 радиан?

Сравните с ориентирами: $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ и $2\pi \approx 6{,}28$. Число 5 лежит между ними, значит, это четвёртая четверть: синус отрицателен, косинус положителен.

Стоит ли рисовать окружность на экзамене?

Да, если в задаче есть знак, четверть или отбор корней. Рисунок в черновике с отмеченными 0, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ занимает меньше минуты и страхует от ошибки в знаке.

С какого класса изучают единичную окружность?

По ФОП углы поворота и радианная мера изучаются в 10 классе в курсе алгебры и начал анализа. В 9 классе синус и косинус определяют для углов от 0° до 180° в геометрии.