Задание 8 профильного ЕГЭ: степени, корни и логарифмы

Q: Можно ли решать подстановкой приближённых значений?

Для прикидки — да, для ответа — нет. Приближённое \sqrt{11} \approx 3{,}3 подтвердит знак, но точный ответ даёт только преобразование.

Что проверяет задание 8 и сколько оно стоит

Задание 8 — это проверка техники преобразований: нужно применить свойства степеней, корней или логарифмов так, чтобы громоздкая запись свернулась в целое число или конечную десятичную дробь. За верный ответ ставится 1 первичный балл^[1].

В действующей структуре 2026 года этот номер шёл седьмым. В проекте 2027 года в первую часть добавили новое задание 6 про случайную величину, поэтому все следующие номера сдвинулись на единицу: уравнения стали седьмыми, а преобразования выражений — восьмыми. Первая часть теперь состоит из 13 заданий с кратким ответом, а весь вариант — из 20 заданий на 33 первичных балла^[2]. Подробная таблица соответствия номеров есть в обзоре изменений профильного ЕГЭ 2027 года.

Решение в бланк не записывается: проверяется только число. Поэтому ценность номера в скорости — опытный выпускник тратит на него 2–4 минуты, и этот балл помогает выиграть время для второй части. Калькулятор на экзамене запрещён, так что все числа в условии подобраны под устный счёт.

Четыре типа выражений в варианте

Если разложить задачи сборников по приёмам, получится 4 устойчивых типа: степени с рациональным показателем, иррациональные выражения, логарифмические выражения и тригонометрические выражения. Иногда в условии есть буква, но её значение задано или сокращается.

Тип	Ключевое свойство	Пример с ответом
Степени	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $(ab)^n = a^n b^n$	$\dfrac{2^{3{,}5} \cdot 3^{5{,}5}}{6^{4{,}5}} = 1{,}5$
Корни	$\sqrt{a^2} = \|a\|$ , $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$	$\sqrt{48} \cdot \sqrt{3} = 12$
Логарифмы	$a^{\log_a b} = b$ , $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$	$\log_3 54 - \log_3 2 = 3$
Тригонометрия	формулы приведения, чётность косинуса	$\dfrac{14\sin 19^\circ}{\sin 341^\circ} = -14$
Выражение с переменной	сначала упростить, потом подставить	$\dfrac{a^{3{,}5} \cdot a^{-1{,}5}}{a^{2}} = 1$ при $a > 0$

Каждое свойство из таблицы входит в школьный курс 10–11 классов, например в учебник Колмогорова^[3]. Если какое-то из них вызывает сомнение, повторите справку о свойствах степеней с рациональным показателем и материал о логарифмах и переходе к новому основанию: в этом номере нет ни одного приёма за их пределами.

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы решить любое выражение этого номера, достаточно одного правила: привести всё к общим основаниям или общему аргументу, а уже потом считать. Ниже 4 задачи, по одной на каждый тип, с ловушкой, на которой чаще всего теряют балл.

Задача 1. Степени с разными основаниями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{3{,}5} \cdot 3^{5{,}5}}{6^{4{,}5}}$ .

Основания 2 и 3 «спрятаны» в шестёрке: $6^{4{,}5} = 2^{4{,}5} \cdot 3^{4{,}5}$ . Делим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели: $2^{3{,}5 - 4{,}5} \cdot 3^{5{,}5 - 4{,}5} = 2^{-1} \cdot 3^{1} = \frac{3}{2}$ . Ответ: 1,5. Дробные показатели пугают только на первый взгляд — после разложения основания на простые множители они взаимно уничтожаются.

Задача 2. Логарифм с основанием меньше 1

Найдите значение выражения $\log_{0{,}5} 8 + 9^{\log_3 2}$ .

Первое слагаемое: $0{,}5 = 2^{-1}$ , а $8 = 2^3$ , поэтому $\log_{0{,}5} 8 = -3$ . Знак минус здесь законный: основание меньше единицы, число больше единицы. Второе слагаемое: $9 = 3^2$ , значит, $9^{\log_3 2} = (3^{\log_3 2})^2 = 2^2 = 4$ по основному логарифмическому тождеству. Сумма: $-3 + 4 = 1$ . Ответ: 1.

Задача 3. Корень из квадрата

Найдите значение выражения $\sqrt{(\sqrt{11} - 4)^2} + \sqrt{11}$ .

Корень из квадрата равен модулю: $\sqrt{(\sqrt{11} - 4)^2} = |\sqrt{11} - 4|$ . Так как $\sqrt{11} < \sqrt{16} = 4$ , разность отрицательна, и модуль раскрывается со сменой знака: $4 - \sqrt{11}$ . Тогда всё выражение равно $4 - \sqrt{11} + \sqrt{11} = 4$ . Ответ: 4. Если раскрыть модуль без сравнения, получится $2\sqrt{11} - 4$ — число, которое в бланк записать нельзя, и это первый сигнал ошибки.

Задача 4. Тригонометрия через приведение

Найдите значение выражения $\dfrac{14\sin 19^\circ}{\sin 341^\circ}$ .

Угол $341^\circ = 360^\circ - 19^\circ$ лежит в четвёртой четверти, где синус отрицателен, поэтому $\sin 341^\circ = -\sin 19^\circ$ . Синусы сокращаются, остаётся $-14$ . Ответ: −14. Сам $\sin 19^\circ$ вычислять не нужно и невозможно без таблиц: составители специально берут «некрасивый» угол, чтобы проверить именно формулу приведения. Повторить её поможет справка по тригонометрическим формулам приведения и двойного угла.

Миф: «в задании 8 ответ всегда натуральное число, а дробный или отрицательный ответ означает ошибку». Это неверно: задачи 1 и 4 выше дают 1,5 и −14. Не бывает только ответа, который нельзя записать в бланк: иррационального числа, бесконечной дроби или выражения с корнем.

Генератор задач к заданию 8

Тренажёр «№ 8 · бесконечные варианты» вверху страницы выдаёт задачи трёх видов: произведение двух логарифмов с переходом к новому основанию, дробь из степеней с одинаковым основанием и корень n-й степени из точной степени числа.

Введите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» показывает короткую цепочку преобразований, «Следующая задача →» меняет числа. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогают видеть точность. Рабочая норма — 10 задач подряд не менее чем с 9 верными ответами и без черновых вычислений длиннее двух строк.

Тригонометрии и модулей в генераторе нет, поэтому задачи 3 и 4 из разбора стоит дополнить подборкой из сборника типовых вариантов под редакцией Ященко^[4]: 15–20 выражений с формулами приведения закрывают этот пробел.

Типичные ошибки и ловушки

Ошибки в этом номере почти никогда не связаны с незнанием темы — это 5 повторяющихся сбоев внимания, и каждый ловится конкретной проверкой.

Сложение вместо умножения показателей. $(a^3)^4 = a^{12}$ , а не $a^7$ : при возведении степени в степень показатели перемножаются.
Корень из квадрата без модуля. $\sqrt{(2 - \sqrt5)^2} = \sqrt5 - 2$ , потому что $\sqrt5 > 2$ . Сравнение надо сделать до раскрытия модуля.
Логарифм суммы. $\log_2 (4 + 4)$ равен 3, а не $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$ : логарифм произведения раскладывается на сумму, логарифм суммы — нет.
Потерянный знак в приведении. Сначала определите четверть угла, потом знак исходной функции в ней, и только затем меняйте функцию на кофункцию, если угол отсчитан от $90^\circ$ или $270^\circ$ .
Отрицательная степень. $2^{-3} = \frac18$ , а не $-8$ : минус в показателе означает «перевернуть дробь», а не сменить знак числа.

Миф: «логарифмы в профильном ЕГЭ нужны только во второй части». Не подтверждается: логарифмическое тождество и переход к новому основанию регулярно встречаются именно в этом номере первой части, а также в уравнениях задания 7.

Как проверить ответ за 30 секунд

Если ответ получен, его стоит проверить другим путём — на это уходит 20–30 секунд, а ошибка в знаке стоит целого балла.

Оценка. Прикиньте порядок величины: $\sqrt[3]{1000}$ близок к 10, значит, ответ 100 явно неверен.
Знак. Отношение синусов из разных четвертей может быть отрицательным, логарифм числа меньше 1 по основанию больше 1 — тоже.
Обратная операция. Если вышло $\log_{0{,}5} 8 = -3$ , проверьте: $0{,}5^{-3} = 2^3 = 8$ .
Формат. Ответ должен быть целым числом или конечной десятичной дробью; корень или обыкновенная дробь вроде $\frac13$ не записываются.

Последний пункт — самый надёжный фильтр. Если после преобразований остался $\sqrt{3}$ или $\pi$ , ищите ошибку: составители ФИПИ подбирают числа так, чтобы ответ записывался в клеточки бланка.

Когда тренировка этого номера не поможет

Не всегда проблема решается порцией новых задач — иногда пробел лежит глубже, в программе 8–9 классов.

Если в 3 задачах из 10 ошибка в действиях с обыкновенными дробями, сначала нужна арифметика, а не логарифмы.
Если вы не можете за 1 минуту объяснить, почему $\sqrt{a^2} = |a|$ , стоит вернуться к теме арифметического квадратного корня.
Если до экзамена меньше 2 недель, а логарифмы не изучались, разумнее закрепить степени и корни и не распыляться.
Если на одно выражение уходит больше 6 минут, причина обычно в незнании формул, и помогут карточки с формулами, а не новые задачи.

Чего делать нельзя

Нельзя терять лёгкий балл из-за спешки: в этом номере ошибки чаще механические, чем смысловые.

Нельзя раскрывать модуль после извлечения корня, не сравнив подмодульное число с нулём.
Нельзя складывать показатели степеней с разными основаниями: $2^3 \cdot 3^2$ не равно $6^5$ .
Не следует вычислять синус «некрасивого» угла приближённо — нужна формула приведения.
Не следует переносить в бланк ответ с корнем или дробью вида $\frac{2}{3}$ : такой ответ не засчитывается.
Не стоит решать в уме цепочку длиннее трёх шагов — запишите промежуточные степени на черновике.
Не допускается пользоваться калькулятором: он запрещён на ЕГЭ по математике.

Как записать ответ в бланк

Ответ записывается в бланк ответов № 1 справа от номера 8, начиная с первой клеточки, по одному символу в клетке. Десятичная запятая и знак минус занимают отдельные клеточки.

Пишите «1,5», а не «3/2», и «−14» без пробела после минуса. Единицы измерения и слова в этом номере не нужны вовсе. Если исправляете ответ, пользуйтесь полем замены ошибочных ответов, а не зачёркиванием. Подробные правила с образцами есть в памятке как заполнять бланк ответов, а следующий по порядку номер — задание 9 на производную — опирается на те же навыки: без уверенных степеней не посчитать и производную многочлена.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[5] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Задание 8 в 2027 году — это бывшее задание 7?

Да. По проекту ФИПИ номер сдвинулся из-за нового задания 6, а содержание осталось прежним. Все задачи прошлых лет под номером 7 подходят для тренировки без изменений.

Нужно ли знать таблицу значений синусов?

Значения для углов 30°, 45° и 60° — обязательно. Для остальных углов достаточно формул приведения и чётности: синус «некрасивого» угла всегда сокращается.

Что делать, если ответ получился иррациональным?

Искать ошибку. Чаще всего это нераскрытый модуль после извлечения корня или перепутанное правило для показателей. Пересчитайте, проверяя каждый переход обратной операцией.

Можно ли решать подстановкой приближённых значений?

Для прикидки — да, для ответа — нет. Приближённое $\sqrt{11} \approx 3{,}3$ подтвердит знак, но точный ответ даёт только преобразование.

Сколько времени отводить на этот номер?

Ориентир — до 4 минут. Если за 6 минут выражение не упростилось, отметьте номер на черновике и вернитесь к нему после остальных заданий первой части.

Чем этот номер отличается от задания 16 базового уровня?

Тема та же, но на профиле чаще встречаются дробные показатели, логарифмы с основанием меньше 1 и формулы приведения. Базовые задачи обычно решаются в одно действие.