Как найти первообразную и площадь криволинейной трапеции

Что такое первообразная

Первообразная функции $f(x)$ на промежутке — это функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$ в каждой точке промежутка. Нахождение первообразной — операция, обратная дифференцированию.

Например, для $f(x) = 2x$ первообразной будет $F(x) = x^2$, потому что $(x^2)' = 2x$. Но подходит и $x^2 + 5$, и $x^2 - 100$: производная константы равна нулю. Поэтому у каждой функции бесконечно много первообразных, и все они отличаются на постоянное слагаемое: $F(x) + C$. Эту запись называют общим видом первообразной, а в старших курсах — неопределённым интегралом.

Главное свойство, которое стоит понять: проверить первообразную всегда можно дифференцированием. Если после дифференцирования получилась исходная функция — ответ верный, если нет — ищите ошибку. Поэтому без уверенного знания производных тема не идёт; техника дифференцирования собрана на странице таблица производных и правила.

Графически все первообразные одной функции — это один и тот же график, сдвинутый вверх или вниз. Чтобы выбрать из них одну, нужна дополнительная информация — например, точка, через которую проходит график. Без неё задача «найдите первообразную» имеет бесконечно много ответов, и в бланк такой ответ записать нельзя.

Зачем вообще нужны первообразная и интеграл, если производная уже изучена? Производная отвечает на вопрос «как быстро меняется величина», а первообразная — на обратный: «сколько величины накопилось, если известна скорость её изменения». Зная скорость движения $v(t)$, по первообразной находят путь; зная силу тока, — прошедший заряд. Именно поэтому в школьном курсе первообразная и интеграл идут сразу после производной: это две половины одной идеи. По ФОП среднего общего образования^[4] обе темы входят в курс алгебры и начал математического анализа.

Таблица первообразных и правила

Таблица первообразных получается, если прочитать таблицу производных справа налево. Для экзамена достаточно 8 строк и 3 правил.

1. Сумма. Первообразная суммы равна сумме первообразных.
2. Множитель. Число выносится: первообразная $k f(x)$ равна $k F(x)$.
3. Линейный аргумент. Для $f(kx + b)$ первообразная — $\frac{1}{k} F(kx + b)$.

Примеры: для $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ первообразная $x^3 - 2x^2 + x + C$; для $\cos 3x$ — $\frac13 \sin 3x + C$; для $e^{2x}$ — $\frac12 e^{2x} + C$. Множитель $\frac1k$ в третьем правиле — зеркальное отражение множителя в производной сложной функции: при дифференцировании $\sin 3x$ появляется 3, значит, при обратной операции нужно делить на 3. Знак у $\sin x$ — частая ловушка: первообразная синуса равна $-\cos x$, а не $\cos x$.

Почему в таблице нет первообразной для $\ln x$ или $\operatorname{tg} x$? Они существуют, но находятся более сложными методами, которые в школьную программу не входят. Для экзамена достаточно табличных функций и трёх правил: учебник Колмогорова прямо ограничивает раздел этим набором. Если в задаче встретилась функция вне таблицы, почти наверняка первообразная уже дана в условии, и её не нужно искать.

Миф: «первообразная произведения равна произведению первообразных». Неверно: это правило не существует ни для производных, ни для первообразных. Проверка дифференцированием сразу показывает ошибку: $(x \cdot \frac{x^2}{2})' = \frac{3x^2}{2} \ne x \cdot x$.

Первообразная, проходящая через точку

Если известна точка графика первообразной, константа $C$ находится однозначно: подставляем координаты в общий вид $F(x) + C$ и решаем линейное уравнение относительно $C$.

Для функции $f(x) = 4x^3 - 2$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $(1; 5)$.

Общий вид: $F(x) = x^4 - 2x + C$. Подставляем $x = 1$, $F = 5$: $1 - 2 + C = 5$, откуда $C = 6$. Ответ: $F(x) = x^4 - 2x + 6$. Проверка: $F'(x) = 4x^3 - 2$ — совпало, и $F(1) = 1 - 2 + 6 = 5$ — тоже. На экзамене такой вопрос обычно превращают в число: «найдите $F(2)$». Здесь $F(2) = 16 - 4 + 6 = 18$.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции $y = f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x = a$ и $x = b$. Её площадь равна $S = F(b) - F(a)$, где $F$ — любая первообразная $f$.

Любая — потому что константа сокращается: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Пример: площадь под параболой $y = x^2$ на отрезке $[0; 3]$. Первообразная $\frac{x^3}{3}$, площадь $\frac{27}{3} - 0 = 9$. Площадь под одной «аркой» синусоиды на $[0; \pi]$: первообразная $-\cos x$, площадь $-\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$.

Условие неотрицательности важно. Если график на участке опускается под ось абсцисс, разность $F(b) - F(a)$ уже не равна площади: части под осью входят со знаком минус. Тогда отрезок делят на части по нулям функции и складывают модули. Для фигуры между двумя графиками площадь равна интегралу от разности «верхней» и «нижней» функций: например, фигура под $y = 6x - x^2$ над осью абсцисс имеет площадь $\left(3x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^6 = 108 - 72 = 36$.

Формула Ньютона–Лейбница и определённый интеграл

Формула Ньютона–Лейбница — это равенство $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, связывающее определённый интеграл с первообразной. В учебнике Колмогорова^[1] она выводится как теорема о площади криволинейной трапеции.

Разность $F(b) - F(a)$ кратко записывают $F(x)\Big|_a^b$. Пример: $\int_1^4 (2x - 3)\,dx = (x^2 - 3x)\Big|_1^4 = (16 - 12) - (1 - 3) = 4 + 2 = 6$. Ещё один: $\int_{-1}^{2} 3x^2\,dx = x^3\Big|_{-1}^{2} = 8 - (-1) = 9$. Порядок подстановки — сначала верхний предел, потом нижний; перепутанный порядок даёт ответ с обратным знаком.

Интеграл, в отличие от площади, может быть отрицательным: $\int_0^{\pi} \cos x\,dx = \sin\pi - \sin 0 = 0$, хотя под графиком косинуса на этом отрезке есть две равные фигуры — одна над осью, другая под ней. Их «подписанные» площади взаимно уничтожаются. Учебник Мордковича^[2] подчёркивает это на отдельном примере: интеграл равен площади только тогда, когда функция на отрезке неотрицательна.

Миф: «интеграл — это всегда площадь, значит, он не бывает отрицательным». Не подтверждается: определённый интеграл от функции, график которой лежит ниже оси абсцисс, отрицателен. Площадь фигуры при этом равна модулю интеграла.

Первообразная в задании 9 профильного ЕГЭ

По проекту спецификации профильного уровня ФИПИ 2027 года^[3] первообразная входит в задание 9 (в 2026 году — 8) вместе с производной, 1 балл. Встречаются 3 типа задач: по графику первообразной, по формуле первообразной и на площадь фигуры.

По графику первообразной $F(x)$ судят о самой функции $f(x) = F'(x)$: где $F$ возрастает, там $f \gt 0$; в вершинах графика $F$ функция $f$ равна нулю. Поэтому вопрос «сколько решений имеет уравнение $f(x) = 0$» сводится к подсчёту точек, где график $F$ имеет горизонтальную касательную. Разность $F(b) - F(a)$ по графику читается напрямую — это разность ординат двух точек.

Функция $F(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 1$ — одна из первообразных функции $f(x)$. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком $y = f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$ и $x = 3$.

Сначала убеждаемся, что $f(x) = 3x^2 - 6x + 5 \gt 0$ (дискриминант $36 - 60 \lt 0$), значит, фигура — криволинейная трапеция. Площадь: $F(3) - F(1) = (27 - 27 + 15 - 1) - (1 - 3 + 5 - 1) = 14 - 2 = 12$. Разбор всего номера — на странице задание 9 профильного ЕГЭ, а связь знака производной с графиком — в материале геометрический смысл производной.

Первообразная и интеграл: задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 8 собственных задач по теме «первообразная и интеграл»: константа по точке, площадь криволинейной трапеции, формула Ньютона–Лейбница, восстановление функции по первообразной.

Введите число в поле «Ответ», нажмите «Проверить», при необходимости откройте «Решение», затем «Следующая задача →» — задачи идут по кругу. Проверяйте каждый результат дифференцированием ещё до подстановки пределов: это 15 секунд, которые спасают от большинства ошибок.

Когда интеграл не нужен

Не в каждой задаче про площадь нужен интеграл: иногда фигура элементарна, а иногда вопрос задан по графику.

• Если график на отрезке — отрезок прямой, площадь находят как площадь трапеции или треугольника, без интеграла: например, под $y = x$ на $[0; 4]$ это 8.
• Если по графику $F$ нужно найти число нулей $f$, достаточно сосчитать вершины графика — от 1 до 5 штук, без вычислений.
• Если вы готовитесь к базовому уровню, интегралы не нужны: в 21 задании базы их нет.
• Если до экзамена меньше 2 недель, а производные не освоены, начинать с интегралов не стоит — сначала задание 9 по графику производной.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на знаке и порядке подстановки: в теме 6 типичных ловушек.

• Нельзя подставлять пределы в обратном порядке: сначала верхний, потом нижний.
• Нельзя считать интеграл площадью, если функция на отрезке меняет знак.
• Не следует забывать множитель $\frac1k$ для функции с аргументом $kx + b$.
• Не следует писать первообразную синуса без минуса: она равна $-\cos x$.
• Не стоит применять формулу $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ при $n = -1$: для $\frac1x$ ответ — логарифм.
• Не стоит оставлять $C$ неизвестной, если в условии дана точка графика.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

Вопросы и ответы

Первообразная и интеграл — это одно и то же?

Нет: первообразная — функция, определённый интеграл — число. Они связаны формулой Ньютона–Лейбница: интеграл равен разности значений первообразной на концах отрезка.

Зачем в ответе пишут + C?

Потому что производная константы равна нулю, и функции $F(x)$ и $F(x) + 7$ имеют одну и ту же производную. Константа показывает, что ответов бесконечно много.

Нужно ли писать C в задачах на площадь?

Нет. При вычитании $F(b) - F(a)$ константа сокращается, поэтому берут любую первообразную, обычно с $C = 0$.

Есть ли интегралы на ЕГЭ базового уровня?

Нет. Среди тем 21 задания базового уровня интегралов нет; они встречаются только в профильном экзамене.

Как проверить свой ответ?

Продифференцируйте найденную функцию. Если получилась исходная, ответ верный; если нет — ищите потерянный множитель или знак.

В каком классе изучают первообразную и интеграл?

По ФОП среднего общего образования^[4] — в 11 классе, после производной, в курсе алгебры и начал математического анализа.