Задание 7 ЕГЭ база: графики функций и производная

Что проверяет задание 7 и как оно выглядит

Задание 7 — это проверка понимания связи между поведением функции и знаком её производной. В условии дан график, на оси абсцисс отмечены 4 точки или промежутка, а справа — 4 характеристики. За верную последовательность из 4 цифр ставится 1 первичный балл^[1].

Характеристики бывают двух видов. Первые касаются только производной: «производная положительна», «производная отрицательна», «производная равна нулю». Вторые сочетают знак функции и знак производной: «значение функции отрицательно, а производной — положительно». Во втором случае по графику нужно ответить на два вопроса: выше или ниже оси лежит точка и поднимается или опускается график в этой точке.

Производная изучается в 10–11 классах по ФОП среднего общего образования^[2], но для этого номера хватает её геометрического смысла, без таблицы производных и правил дифференцирования. Балл ставится только за полностью верный ответ: если перепутаны две пары, ответ не засчитывается целиком.

Главное правило: возрастание и знак производной

Если функция возрастает на промежутке, её производная там положительна; если убывает — отрицательна; в вершинах и впадинах гладкого графика производная равна нулю. Это правило — следствие теоремы о признаке возрастания и убывания функции из курса алгебры 10–11 классов, и оно закрывает почти весь седьмой номер.

Что видно на графике функции	Знак производной	Как проверить себя
График поднимается слева направо	$f'(x) > 0$	касательная наклонена вверх
График опускается слева направо	$f'(x) < 0$	касательная наклонена вниз
Вершина «горки» — точка экстремума	$f'(x) = 0$	касательная горизонтальна, слева рост, справа спад
Дно «ямы» — точка минимума	$f'(x) = 0$	касательная горизонтальна, слева спад, справа рост
График выше оси абсцисс	ничего не говорит о производной	это знак самой функции: $f(x) > 0$

Последняя строка — ключ к самой частой ошибке. Положение графика над осью или под ней говорит о знаке функции, а наклон графика — о знаке производной. Это две независимые характеристики: функция может быть отрицательной и при этом возрастать. Подробнее связь наклона касательной и производной разобрана в материале геометрический смысл производной.

Миф: «если график ниже оси, то производная отрицательна». Это неверно. Знак производной определяется не положением графика, а направлением его движения. На участке, где график поднимается из глубины к оси, функция отрицательна, но возрастает, и производная там положительна.

Порядок решения по шагам

Чтобы не запутаться в четырёх парах, удобно для каждой точки записать в черновике два знака: знак функции и знак производной. На это уходит 1–2 минуты, а дальше соответствие собирается автоматически.

Шаг 1. Разметьте график: где он поднимается, где опускается, где вершины. Можно подписать стрелками ↑ и ↓ прямо на рисунке в КИМ.
Шаг 2. Для каждой отмеченной точки определите: выше или ниже оси лежит график (знак $f$ ) и в какую сторону он идёт (знак $f'$ ).
Шаг 3. Выпишите пары знаков: «+ / −», «− / +» и так далее.
Шаг 4. Сопоставьте пары с характеристиками и проверьте, что все 4 цифры в ответе разные.

Если отмечены не точки, а промежутки, шаг 2 упрощается: на промежутке смотрят только, растёт функция или убывает. Важно, чтобы весь промежуток лежал на одном «склоне» графика: если внутри есть вершина, такой промежуток не может соответствовать характеристике «производная положительна».

Разбор типовых задач

Ниже 3 задачи: по точкам на графике, по промежуткам и с поиском точки экстремума по знакам производной. Числа и графики составлены в формате экзамена.

Точки на графике функции

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ , на оси абсцисс отмечены точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Установите соответствие между точками и характеристиками функции и её производной: 1) значение функции положительно, значение производной отрицательно; 2) значение функции отрицательно, значение производной положительно; 3) значение функции положительно, значение производной положительно; 4) значение функции отрицательно, значение производной отрицательно.

График функции и отмеченные точки

A

B

C

D

Точка $A$ : график под осью и опускается — «− / −», характеристика 4. Точка $B$ : под осью, но поднимается — «− / +», характеристика 2. Точка $C$ : над осью и поднимается — «+ / +», характеристика 3. Точка $D$ : над осью, опускается — «+ / −», характеристика 1. Ответ: 4231.

Промежутки и точки экстремума

Функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[-6; 6]$ : она возрастает на $[-6; -3]$ , убывает на $[-3; 2]$ и возрастает на $[2; 6]$ . Установите соответствие: А) точка $x = -3$ ; Б) интервал $(-1; 1)$ ; В) точка $x = 2$ ; Г) интервал $(3; 5)$ . Характеристики: 1) производная положительна на всём интервале; 2) точка минимума; 3) производная отрицательна на всём интервале; 4) вершина графика, где рост сменяется спадом.

В точке $x = -3$ рост сменяется спадом — это вершина: А — 4. Интервал $(-1; 1)$ целиком лежит внутри участка убывания: Б — 3. В точке $x = 2$ спад сменяется ростом — минимум: В — 2. Интервал $(3; 5)$ — на участке роста: Г — 1. Ответ: 4321.

Точка экстремума по знакам производной

Известно, что производная функции $f(x)$ положительна на $(-5; -1)$ , отрицательна на $(-1; 3)$ и положительна на $(3; 6)$ . Найдите точку, в которой возрастание функции сменяется убыванием.

Производная меняет знак с плюса на минус в точке $x = -1$ : слева функция возрастает, справа убывает — это точка экстремума, вершина графика. В точке $x = 3$ знак меняется с минуса на плюс — это минимум. Ответ: $-1$ . Такая задача — мостик к профильному уровню: там по графику производной находят точки экстремума и промежутки монотонности в задании 9 (в 2026 году — № 8).

Типичные ошибки в задании 7

Не сама производная, а путаница между знаком функции и знаком производной отнимает большинство баллов. Ниже 5 ошибок, которые встречаются чаще других.

Положение вместо наклона. «График ниже оси — значит, производная отрицательна». Нет: это знак функции.
Направление чтения. Рост и спад определяют слева направо, по возрастанию $x$ , а не по тому, куда «смотрит» участок.
Вершина внутри промежутка. На таком промежутке производная меняет знак, и характеристика «производная положительна на всём интервале» к нему не подходит.
Вершина и впадина. Вершина «горки» и дно «ямы» — разные точки экстремума, и характеристики у них разные. Путают их обычно при спешке.
Порядок цифр. Ответ записывают в порядке точек или букв условия, а не в порядке характеристик.

Миф: «без умения брать производные этот номер не решить». Это не подтверждается: в задании 7 не нужно ни одной формулы дифференцирования. Достаточно знать, что знак производной совпадает с направлением движения графика, — это материал одного урока.

Как проверить и записать ответ

Ответ седьмого номера — последовательность из 4 цифр без пробелов и запятых, например «4231». Её записывают в бланк ответов № 1 по одной цифре в клеточке.

Спецификация ФИПИ относит этот номер к заданиям с кратким ответом, поэтому ответ проверяется автоматически и любой лишний символ стоит балла. Перед записью сделайте две проверки. Первая — все цифры разные: каждая характеристика подходит ровно к одной точке. Вторая — прочитайте пары словами: «в точке $B$ функция отрицательна, но растёт». Если фраза противоречит рисунку, ищите ошибку. Подробно о записи последовательностей — в материале как заполнять бланк ответов.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 9 задач: 4 соответствия в формате экзамена и 5 коротких задач с числовым ответом на знак производной, точки экстремума и промежутки монотонности.

Для соответствия вводите четыре цифры подряд, для остальных — число. Кнопка «Проверить» сразу покажет результат, «Решение» — рассуждение по знакам, «Следующая задача →» откроет новую; задачи идут по кругу. Решайте их в 2–3 захода с перерывами в несколько дней: распределённое повторение, по данным исследования N. Cepeda и соавторов^[3], закрепляет материал надёжнее, чем занятия подряд. Чтобы увидеть, как форма графика связана с формулой, можно поэкспериментировать в построителе графиков онлайн.

Когда этот номер не стоит начинать

Не всегда седьмой номер — лучшее вложение времени; бывают ситуации, когда отдача от других заданий выше.

Если в варианте ещё не стабильны 5–6 первых практических задач, начните с них: там балл получить проще.
Если тема производной в школе ещё не пройдена, хватит 1 урока по геометрическому смыслу, а не десятков задач вслепую.
Если до экзамена меньше 5 дней, а номер решается в 3 случаях из 4, лучше закрепить другие темы.
Если ошибки связаны с чтением координат точек, сначала нужно 2–3 занятия по графикам и диаграммам.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на задаче, где не нужно ничего вычислять, — вот привычки, которые к этому приводят.

Нельзя определять знак производной по тому, выше или ниже оси лежит график.
Нельзя записывать ответ с пробелами, запятыми или буквами.
Не следует читать график справа налево — рост и спад определяют по возрастанию $x$ .
Не следует приписывать характеристику «на всём интервале» промежутку с вершиной внутри.
Не стоит оставлять в ответе две одинаковые цифры — значит, одна пара подобрана неверно.
Не стоит решать без пометок: стрелки роста и спада на рисунке экономят время и снижают число ошибок.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

[3] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[4] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 7?

Один первичный балл, и только за полностью верную последовательность из 4 цифр.

Нужно ли знать таблицу производных?

Для этого номера — нет. Достаточно связи между наклоном графика и знаком производной. Таблица производных и правила дифференцирования понадобятся только на профильном уровне.

Чему равна производная в вершине графика?

Если график в вершине гладкий, касательная там горизонтальна, и производная равна нулю. Это верно и для вершины, и для впадины.

Может ли функция быть отрицательной и возрастать?

Да. Если график ниже оси, но поднимается, функция отрицательна, а её производная положительна. Именно такие пары чаще всего и встречаются в характеристиках.

Где почитать теорию подробнее?

Связь монотонности и знака производной разобрана в учебнике А. Н. Колмогорова и соавторов^[4] для 10–11 классов. Краткая сводка правил — в материале производная: правила и таблица.

Сколько задач решить для уверенности?

Обычно хватает 12–15 соответствий с разбором. Главное — каждый раз выписывать пару знаков для каждой точки, а не угадывать по общему виду графика.