Как решаются показательные уравнения в профильном ЕГЭ: четыре приёма

Ключевое свойство: равные степени — равные показатели

Если $a > 0$ и $a \ne 1$, то равенство $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ равносильно $f(x) = g(x)$. Это следует из того, что показательная функция строго монотонна и каждое своё значение принимает ровно 1 раз.

Все показательные уравнения в конечном счёте сводятся к этому свойству или к простейшему виду $a^x = b$. У последнего при $b > 0$ ровно один корень $x = \log_a b$, а при $b \le 0$ корней нет: степень с положительным основанием не может быть нулём или отрицательным числом. Теорема о монотонности показательной функции доказывается в учебнике Колмогорова^[1], а графики и свойства функции $y = a^x$ собраны на странице показательная и логарифмическая функции.

В отличие от логарифмических, показательные уравнения почти не требуют ОДЗ: выражение $a^x$ определено при любом $x$. Ограничения появляются только вместе с дробями, корнями или переменной в основании. Зато появляется другое условие — положительность степени, и именно о нём забывают после замены.

По кодификатору ФИПИ показательная функция и показательные уравнения относятся к обязательному содержанию курса 10–11 классов, поэтому задачи на них есть и в первой, и во второй части. В первой части показательное уравнение обычно решается в одну-две строки, и проверяется только число в бланке. Во второй части то же самое уравнение маскируют: показатели содержат сдвиги, основания разные, а после решения нужно отобрать корни на отрезке с логарифмическими концами. Перед решением полезно ответить на один вопрос: к какому из четырёх видов сводится показательное уравнение? Таблица ниже помогает распознать вид по внешним признакам за несколько секунд.

Приведение к одному основанию

Это первый приём, который нужно пробовать: числа 4, 8, 16, 32, 64 — степени двойки, 9, 27, 81 — степени тройки, 25 и 125 — пятёрки. Дроби вида $\frac{1}{9}$ записывают как отрицательную степень.

Решите уравнение $8^{x - 1} = 4^{x + 2}$.

Записываем обе части через двойку: $2^{3(x - 1)} = 2^{2(x + 2)}$. Приравниваем показатели: $3x - 3 = 2x + 4$, $x = 7$. Проверка: $8^6 = 2^{18}$ и $4^9 = 2^{18}$. Ответ: 7.

Решите уравнение $\left(\frac19\right)^x = 27$.

$\left(\frac19\right)^x = 3^{-2x}$, $27 = 3^3$. Получаем $-2x = 3$, $x = -1{,}5$. В бланк задания 7 записывается «-1,5».

Если в показателе квадратный трёхчлен, после приравнивания получается квадратное уравнение. Например, $5^{x^2 - 3x} = \frac{1}{25}$ даёт $x^2 - 3x = -2$, откуда $x = 1$ или $x = 2$. Такие показательные уравнения часто встречаются в первой части; номер целиком разобран на странице задание 7 профильного ЕГЭ.

Миф: «в показательном уравнении всегда один корень». Это неверно: один корень гарантирован только для простейшего $a^x = b$ при $b > 0$. После замены или с квадратным трёхчленом в показателе корней бывает два, а если правая часть неположительна — ни одного.

Вынесение общего множителя

Если основание одно, а показатели отличаются на число, например $x + 2$ и $x$, за скобки выносят степень с меньшим показателем. В скобках остаётся число, и уравнение становится простейшим.

Решите уравнение $3^{x + 2} - 3^x = 72$.

$3^{x + 2} = 9 \cdot 3^x$, поэтому $3^x (9 - 1) = 72$, $3^x = 9$, $x = 2$. Проверка: $81 - 9 = 72$. Ответ: 2.

С отрицательным сдвигом приём тот же. В уравнении $2^{x + 1} + 2^{x - 1} = 20$ удобнее вынести $2^{x - 1}$: $2^{x - 1}(4 + 1) = 20$, $2^{x - 1} = 4$, $x = 3$. Можно вынести и $2^x$ — показательное выражение в скобках тогда даст $2 + \frac12$, ответ тот же, но дробей больше. Учебник Мордковича^[2] рекомендует выносить именно наименьшую степень, чтобы в скобках остались целые числа.

Показательные уравнения с заменой: условие t > 0

Если в уравнении есть $a^{2x}$ и $a^x$, делают замену $t = a^x$ с обязательным условием $t > 0$. Отрицательные корни квадратного уравнения для $t$ отбрасываются с пояснением.

Решите уравнение $4^x + 2^{x + 1} - 8 = 0$.

$4^x = (2^x)^2$, $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^x$. Пусть $t = 2^x$, $t > 0$: $t^2 + 2t - 8 = 0$. По теореме Виета $t = 2$ или $t = -4$. Значение $-4$ не подходит, потому что $2^x > 0$ при любом $x$. Из $2^x = 2$ получаем $x = 1$. Ответ: 1.

Вторая разновидность — степени с противоположными показателями. В уравнении $2^x + 2^{3 - x} = 6$ запишем $2^{3 - x} = \frac{8}{2^x}$ и после замены получим $t + \frac{8}{t} = 6$. Умножаем на $t > 0$: $t^2 - 6t + 8 = 0$, $t = 2$ или $t = 4$, то есть $x = 1$ или $x = 2$. Здесь оба значения $t$ положительны, и оба корня входят в ответ.

Почему условие $t > 0$ так важно? Показательная функция принимает только положительные значения, это прямо следует из её определения. Если квадратное уравнение для $t$ дало два отрицательных корня, исходное показательное уравнение корней не имеет вовсе, и в ответе так и пишут: «корней нет». Ошибка возникает, когда отрицательное $t$ пытаются «перевести» в $x$ через логарифм — логарифм отрицательного числа не определён, и такая запись обнуляет решение.

Однородные показательные уравнения с двумя основаниями

Однородное показательное уравнение — это уравнение с тремя слагаемыми вида $a^{2x}$, $a^x b^x$ и $b^{2x}$. Его делят на $b^{2x}$, которое никогда не равно нулю, и получают квадратное уравнение относительно $t = \left(\frac{a}{b}\right)^x$.

Простой пример: $9^x + 6^x = 2 \cdot 4^x$. Делим на $4^x$: $\left(\frac32\right)^{2x} + \left(\frac32\right)^x - 2 = 0$. При $t = \left(\frac32\right)^x > 0$ имеем $t^2 + t - 2 = 0$, $t = 1$ или $t = -2$; второе значение отбрасываем. Остаётся $\left(\frac32\right)^x = 1$, то есть $x = 0$.

а) Решите уравнение $2 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x + 3 \cdot 4^x = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_3 2; \log_2 3\right]$.

Делим на $4^x > 0$ и обозначаем $t = \left(\frac32\right)^x$: $2t^2 - 5t + 3 = 0$, корни $t = 1$ и $t = \frac32$. Получаем $x = 0$ и $x = 1$. Ответ пункта а): 0; 1.

Для пункта б) оцениваем концы. Так как $1 < 2 < 3$, то $0 < \log_3 2 < 1$. Так как $3 > 2$, то $\log_2 3 > 1$. Значит, $0 < \log_3 2 < 1 < \log_2 3$, и отрезку принадлежит только $x = 1$. Ответ пункта б): 1. Такие сравнения — обязательная часть обоснования: по проекту спецификации ФИПИ^[3] задание 14 оценивается в 2 балла, и без сравнения концов пункт б) не засчитывается. Как устроены баллы за номер, разобрано на странице задание 14 профильного ЕГЭ.

Разные основания и ответ через логарифм

Если основания не сводятся друг к другу, обе части логарифмируют или делят одну степень на другую. Ответ тогда часто записывается через логарифм — и это нормальный точный ответ.

• Простейшее. $3^x = 7$ даёт $x = \log_3 7$. В первой части такого ответа не будет, во второй он допустим.
• Одинаковые показатели. $5^{x + 1} = 3^{x + 1}$: делим на $3^{x + 1}$ и получаем $\left(\frac53\right)^{x + 1} = 1$, откуда $x = -1$.
• Произведение. $2^x \cdot 5^x = 0{,}01$: слева $10^x$, справа $10^{-2}$, значит, $x = -2$.

Для перехода к логарифмам полезно помнить основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, которое в любом учебнике алгебры 10–11 классов идёт сразу после определения логарифма. Подробнее о свойствах логарифмов — на странице про логарифмические уравнения в ЕГЭ.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 8 уравнений на все приёмы из статьи: одно основание, вынесение множителя, замену и однородность. В задачах с двумя корнями ответ сведён к сумме, произведению или большему корню.

Введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить»; кнопка «Решение» открывает разбор, а «Следующая задача →» переключает уравнение. Если ошиблись, вернитесь к таблице выше и определите, какой приём подходил.

Когда приведение к одному основанию не работает

Не каждое уравнение со степенями решается стандартными приёмами: иногда нужен логарифм, иногда — рассуждение о монотонности.

• Если основания 2 и 3 стоят при разных показателях, как в $2^x = 3^{x - 1}$, к одному основанию их не свести — логарифмируйте обе части.
• Если степень приравнена к линейному выражению, как в $3^x = 4 - x$, алгебраически корень не выразить: слева функция возрастает, справа убывает, поэтому корней не более 1 — его подбирают: $x = 1$.
• Если после замены получился многочлен 3-й степени, сначала ищите целый корень среди делителей свободного члена.
• Если переменная есть и в основании, и в показателе, как в $x^{x} = 4$, нужно отдельное условие $x > 0$, и стандартные 4 приёма не помогают.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять ответу, если не проверено, что степень после замены положительна: это главный источник ошибок в теме.

• Нельзя оставлять в решении $t = -4$ или $t = 0$ после замены $t = a^x$: такие значения степень не принимает.
• Нельзя приравнивать показатели при разных основаниях: из $2^x = 3^{x - 1}$ не следует $x = x - 1$.
• Не следует путать $2^{x + 1}$ с $2^x + 1$ и $4^x$ с $4 \cdot 2^x$: это разные выражения.
• Не следует делить на степень, не отметив, что она положительна, — в задании 14 это требуется для обоснования.
• Не стоит заменять корень вида $\log_3 7$ десятичным приближением во второй части.
• Не допускается сравнивать корни с концами отрезка без доказательства неравенств.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Нужна ли ОДЗ в показательном уравнении?

Обычно нет: $a^x$ определено при любом $x$. Ограничения появляются, если есть дробь, корень чётной степени или переменная в основании.

Почему основание не может быть равно 1?

Потому что $1^x = 1$ при любом $x$, и свойство «равные степени — равные показатели» перестаёт работать. В школьном курсе показательная функция определяется только при $a > 0$, $a \ne 1$.

Как понять, что уравнение однородное?

Сложите показатели в каждом слагаемом: у $9^x$, $6^x$ и $4^x$ это одинаковая степень по основаниям 2 и 3 вместе. Если правая часть — ноль, а слагаемых три, почти наверняка нужно делить на одно из них.

Встречаются ли показательные уравнения в базовом ЕГЭ?

Да, простейшие — в задании 17 базового уровня. Там достаточно приведения к одному основанию, без замены и отбора.

Сколько времени тратить на такое уравнение во второй части?

Ориентир — 10–15 минут вместе с оформлением. Показательные уравнения обычно короче тригонометрических, потому что корней конечное число.

Где взять больше задач?

В сборниках типовых вариантов под редакцией Ященко^[4] и в открытом банке ФИПИ. Решайте их порциями по несколько задач с перерывами в несколько дней — так приёмы держатся в памяти дольше.