Как решать задание 21 базового ЕГЭ: переливания, взвешивания, клетки

Что проверяет задание 21 и сколько оно стоит

Задание 21 — это последний номер базового экзамена, который проверяет умение рассуждать в нестандартной ситуации: строить модель, перебирать варианты, замечать закономерность. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года номер оценивается в 1 первичный балл^[1], как и все остальные 20 заданий.

Сюжеты номера разнообразны, но повторяются из сборника в сборник: улитка ползёт по дереву, весы без гирь, сосуды известной ёмкости, клетчатые фигуры, нумерация страниц, распилы и разрезы. Проект демоверсии ФИПИ^[2] сохраняет такой формат: короткое условие и числовой ответ. Смекалка в этих задачах — не озарение, а набор приёмов, которые можно натренировать. Перебор вариантов изучают в курсе вероятности и статистики, который по ФОП идёт отдельным предметом с 7 класса.

Номер часто считают самым трудным в базовом экзамене, и многие выпускники пропускают его, не читая. Это ошибка: примерно половина сюжетов решается за 3–4 минуты, если знать типовую ловушку. Например, в задаче про улитку ловушка — последний день, в задаче про распилы — разница между числом распилов и числом кусков.

Приёмы, которые работают в задачах на смекалку

Для задания 21 хватает пяти приёмов, и каждый закрывает свой тип сюжета. Таблица связывает приём с задачами, где он срабатывает.

Приём маленьких чисел особенно полезен: если непонятно, сколько распилов нужно для 8 частей, проверьте на 2 частях — нужен 1 распил, на 3 частях — 2. Закономерность «на один меньше» становится очевидной. Д. Пойа в книге «Как решать задачу»^[3] называет это решением вспомогательной, более простой задачи, и этот совет работает далеко за пределами экзамена.

Разбор: улитка и особый последний день

Если процесс состоит из подъёма и спуска, последний подъём особенный: достигнув цели, объект уже не спускается. Без учёта этого ответ получается на несколько дней больше верного.

Улитка ползёт вверх по дереву высотой 10 м. За день она поднимается на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. На какой день улитка впервые доберётся до верхушки?

Наивный ответ «10 дней» (по метру в сутки) неверен. В последний день улитка поднимется на 4 м и сползать уже не будет, значит, к утру этого дня ей достаточно быть на высоте $10 - 4 = 6$ м. На высоту 6 м она выйдет через 6 полных суток, и на 7-й день доберётся до верхушки. Проверка по дням: утро 7-го дня — 6 м, вечер — 10 м. Ответ: 7.

Общая схема: из высоты вычитают дневной подъём, делят на суточный прирост и прибавляют последний день. Для колодца глубиной 15 м с теми же скоростями получится $(15 - 4) : 1 + 1 = 12$ дней — эта задача есть в блоке ниже.

Миф: «в задачах на смекалку ответ можно получить только догадкой, научиться этому нельзя». Это неверно: сюжеты номера повторяются, и у каждого есть стандартный приём — последний шаг, маленькие числа, таблица состояний. Задач, для которых нужна врождённая догадливость, в базовом экзамене не бывает.

Разбор: взвешивания на чашечных весах

Чашечные весы без гирь дают 3 исхода — левая чаша легче, правая легче или равновесие. Поэтому монеты делят не пополам, а на три группы: так каждое взвешивание отсекает две трети подозрительных монет.

Среди 9 монет одна фальшивая — она легче остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь её можно гарантированно найти?

Делим монеты на три кучки по 3 и кладём две из них на весы. Если одна чаша легче, фальшивка в ней; если равновесие — в третьей кучке. Осталось 3 монеты: кладём по одной на чаши, и снова либо легче одна из них, либо фальшивая — третья. Итого 2 взвешивания. Одного не хватит: 3 исхода не различают 9 вариантов. Ответ: 2.

Закономерность: за $k$ взвешиваний можно найти лёгкую монету среди не более чем $3^k$ монет. Для 27 монет нужно 3 взвешивания, для 28 — уже 4. Деление пополам дало бы для 9 монет 3 взвешивания, и такой ответ был бы неверным, потому что вопрос — о наименьшем числе.

Разбор: переливания между сосудами

Чтобы не запутаться в переливаниях, записывают таблицу состояний: сколько литров в каждом сосуде после каждого действия. Действий три — наполнить сосуд, вылить его, перелить из одного в другой до заполнения или опустошения.

Есть сосуды ёмкостью 5 л и 3 л и кран с водой. Как получить ровно 4 л воды? Какое наименьшее число действий для этого нужно, если наполнение, выливание и переливание считаются по одному действию?

Таблица (5-литровый, 3-литровый): наполнить 5 л — (5, 0); перелить в 3 л — (2, 3); вылить 3 л — (2, 0); перелить 2 л в малый сосуд — (0, 2); наполнить 5 л — (5, 2); долить малый до краёв — уходит 1 л, остаётся (4, 3). Получено 4 л за 6 действий. Путь «начать с малого сосуда» требует 8 действий, а полный перебор состояний подтверждает, что быстрее, чем за 6, не получится. Ответ: 6.

Таблица состояний — это тот же систематический перебор: каждое состояние записано один раз, и видно, куда можно перейти. Учебник по вероятности и статистике Высоцкого и Ященко^[4] учит строить такие схемы для подсчёта вариантов в 7–9 классах, и в номере 21 этот навык пригождается напрямую.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — это 8 задач на смекалку в формате экзамена: улитка в колодце, распилы, взвешивания 27 монет, квадраты на клетчатой бумаге, пересечение секций, нумерация страниц, шеренга и часы с боем.

Введите число в поле «Ответ», нажмите «Проверить» и, если ответ не совпал, откройте «Решение». Кнопка «Следующая задача →» переходит к следующему сюжету, задачи идут по кругу. Каждая задача тренирует один из приёмов из таблицы выше, поэтому после неудачи полезно определить, какой приём не сработал, и вернуться к соответствующему разбору.

Типичные ошибки и проверка ответа

Не менее половины ошибок задания 21 — ошибка «на единицу»: лишний или недостающий день, распил, страница, человек в шеренге. Их ловит проверка на маленьких числах.

• Куски и распилы. Для $n$ кусков нужен $n - 1$ распил, если бревно прямое и не замкнуто в кольцо.
• Последний день. Улитка, достигшая верха, вниз уже не сползает.
• Двойной счёт. Ученики из двух секций, посчитанные в обеих, учитываются один раз.
• Не все варианты. В подсчёте квадратов на клетчатой бумаге забывают квадраты 2 × 2 и больше.

Проверка — разыграть ситуацию с найденным ответом по шагам или уменьшить числа так, чтобы ответ можно было посчитать на пальцах. Если для 3 кусков ваша формула даёт 3 распила, она неверна, и ошибка видна сразу.

Миф: «последний номер базового экзамена стоит больше баллов, чем первые». Не подтверждается: по спецификации ФИПИ все 21 задание базового уровня оцениваются одинаково — по 1 баллу. Пропуск номера 21 стоит столько же, сколько пропуск номера 1.

Когда этот номер не нужен

Не всем выпускникам стоит начинать подготовку с номера 21 — иногда время лучше потратить иначе.

• Если до экзамена меньше 3 недель, а номера 1–6 решаются нестабильно, балл на них получить быстрее.
• Если цель — отметка «3», а 7 первичных баллов уже набираются уверенно, номер 21 можно разобрать в последнюю очередь.
• Если на экзамене на одну задачу ушло больше 10 минут, лучше перейти к проверке остальных номеров.
• Если после 5 разобранных задач ни один приём не прояснился, стоит сначала потренировать перебор на простых сюжетах.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать задачу на смекалку в гадание — ниже 6 правил, которые помогают решать её системно.

• Нельзя записывать ответ, не проверив его на маленьких числах или пошаговым разыгрыванием.
• Нельзя делить монеты на две группы, когда спрашивают о наименьшем числе взвешиваний.
• Не следует забывать про последний шаг в задачах «туда-обратно».
• Не следует держать переливания в голове — записывайте состояния сосудов в таблицу.
• Не стоит пропускать номер не читая: часть сюжетов решается за 3–4 минуты.
• Не стоит тратить на одну задачу больше 10 минут, пока не проверены остальные номера.

Как записать ответ в бланк

Ответ на номер 21 — это одно число: количество дней, взвешиваний, квадратов, страниц или других объектов. Цифры записывают по одной в клеточку, без слов и единиц.

Если улитка доберётся до верхушки на 7-й день, в бланк идёт «7», а не «7 дней» и не «на 7-й». Если вопрос о числе действий, записывают только число действий, а не их перечень. Правила для всех номеров собраны в статье как записывать ответы в бланк. Задачи с делимостью и цифрами, похожие на задачи на смекалку, разобраны в задании 19 базового уровня, а логические задачи с утверждениями — в задании 8 на анализ утверждений.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

[4] Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Насколько трудно задание 21 по сравнению с другими?

Его считают самым необычным номером базового экзамена, но не самым трудным. Сюжеты повторяются, и после разбора 10–15 типовых задач большинство из них решается уверенно.

Нужны ли формулы?

Почти нет. Иногда пригождается сумма чисел от 1 до $n$ или степени тройки, но главное — рассуждение и аккуратный перебор.

Что делать, если сюжет незнакомый?

Уменьшите числа в условии и решите упрощённую задачу. Найденная закономерность обычно переносится на исходные числа без изменений.

Можно ли угадать ответ?

Угадать число в задаче с кратким ответом почти невозможно. Зато можно быстро проверить свою версию разыгрыванием по шагам — это надёжнее догадки.

Сколько времени отводить на номер?

Разумно оставить на него 10 минут в конце экзамена, после проверки остальных номеров. На весь базовый экзамен отводится 180 минут.

Как тренироваться, если времени мало?

Разберите по 2 задачи на каждый приём из таблицы: улитку, распилы, взвешивания, переливания и подсчёт клеток. Этого достаточно, чтобы узнавать основные сюжеты.