Задачи на смеси и сплавы: концентрация и растворы

Где встречаются смеси и сплавы на экзамене

Смеси и сплавы — один из трёх классических сюжетов текстовых задач вместе с движением и работой: в базовом ЕГЭ это задание 20, в профильном — задание 11 (в 2026 году — № 10), в ОГЭ — задание 21 с развёрнутым решением на 2 балла.

По спецификации базового ЕГЭ задание 20 — текстовая задача с кратким ответом на 1 балл^[1]. Кодификатор ФИПИ связывает их с умением выполнять расчёты с процентами и долями. Сюжеты разные: раствор соли, сплав меди и олова, сушёные фрукты, сироп, кислота в двух сосудах. Модель у всех одна, поэтому достаточно освоить её один раз; демоверсия ФИПИ^[3] показывает, что ответ в таком задании — одно число. Разборы конкретных номеров — на страницах задание 20 базового ЕГЭ и текстовая задача профильного ЕГЭ; здесь — общая теория концентрации.

Концентрация и масса чистого вещества

Концентрация — это доля чистого вещества в смеси, выраженная в процентах или десятичной дробью: $c = \frac{m_{\text{в}}}{m} \cdot 100\%$ . Если в 200 г раствора 30 г соли, его концентрация $\frac{30}{200} = 0{,}15$ , то есть 15%.

Обратная формула важнее прямой: масса вещества $m_{\text{в}} = c \cdot m$ . В 5 кг сплава с содержанием меди 40% меди $5 \cdot 0{,}4 = 2$ кг. Все задачи на растворы сводятся к тому, чтобы аккуратно проследить, как меняется масса чистого вещества и масса всей смеси. Теорию процентов, на которой это построено, можно повторить в материале проценты и доли числа; в учебнике алгебры 8 класса^[2] такие сюжеты встречаются среди задач на составление уравнений.

Что произошло со смесью	Масса вещества	Масса смеси
Добавили воду	не меняется	увеличивается на массу воды
Выпарили воду (высушили)	не меняется	уменьшается
Добавили чистое вещество	увеличивается на эту массу	увеличивается на эту же массу
Смешали два раствора	$c_1 m_1 + c_2 m_2$	$m_1 + m_2$
Отлили часть раствора	уменьшается пропорционально	уменьшается, концентрация прежняя

Разбавление водой и добавление вещества

Если к раствору добавляют воду, масса растворённого вещества остаётся прежней, а масса раствора растёт — поэтому концентрация падает. Именно этот сюжет чаще всего выдаёт тренажёр вверху страницы.

К 300 г 20-процентного раствора соли добавили 200 г воды. Какова концентрация получившегося раствора?

Соли было $300 \cdot 0{,}2 = 60$ г, столько же и осталось. Масса раствора стала $300 + 200 = 500$ г. Концентрация $\frac{60}{500} = 0{,}12$ , или 12%. Ответ: 12.

Имеется 15 кг сплава, содержащего 40% меди. Сколько килограммов чистой меди нужно добавить, чтобы получить сплав с содержанием меди 50%?

Меди сейчас $15 \cdot 0{,}4 = 6$ кг. Добавим $x$ кг: меди станет $6 + x$ , а сплава $15 + x$ . Условие: $6 + x = 0{,}5(15 + x)$ , откуда $0{,}5x = 1{,}5$ и $x = 3$ . Проверка: $\frac{9}{18} = 0{,}5$ . Ответ: 3. Здесь растут обе массы сразу — это главное отличие от разбавления водой.

Миф: «если концентрацию нужно поднять с 40% до 50%, надо добавить 10% от массы сплава, то есть 1,5 кг». Неверно: добавленная медь увеличивает и массу всего сплава, поэтому нужно 3 кг. Простого правила «добавь разницу процентов» не существует.

Смешивание двух растворов

Чтобы найти концентрацию смеси двух растворов, сложите массы чистого вещества и разделите на общую массу. Итоговая концентрация всегда лежит между двумя исходными.

Смешали 4 кг 10-процентного раствора кислоты и 6 кг 25-процентного раствора той же кислоты. Найдите концентрацию смеси.

Кислоты в первом растворе $0{,}4$ кг, во втором $1{,}5$ кг, всего $1{,}9$ кг на 10 кг смеси. Концентрация $\frac{1{,}9}{10} = 0{,}19$ , или 19%. Ответ: 19. Проверка: 19% лежит между 10% и 25% и ближе к 25%, потому что второго раствора больше.

Если неизвестна масса одного из растворов, получается линейное уравнение. Смешали 30-процентный и 60-процентный растворы и получили 600 г 40-процентного. Пусть первого взяли $x$ г: $0{,}3x + 0{,}6(600 - x) = 0{,}4 \cdot 600$ . Отсюда $360 - 0{,}3x = 240$ , $x = 400$ г, второго — 200 г.

Правило рычага для проверки

Массы смешиваемых растворов обратно пропорциональны расстояниям от их концентраций до итоговой: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{60 - 40}{40 - 30} = 2$ . Значит, первого раствора вдвое больше — 400 г и 200 г, как и в уравнении. Правило удобно для проверки, но в задании 21 ОГЭ решение всё равно оформляют уравнением.

Миф: «при смешивании концентрации складываются или усредняются». Это не подтверждается ни одним примером: 10% и 25% дали 19%, а не 35% и не 17,5%. Среднее арифметическое концентраций получается только при равных массах растворов.

Высушивание и выпаривание

Задачи на сушку — это смеси, где «чистое вещество» — сухая часть продукта, а уходит только вода. Масса сухого вещества до и после сушки одинакова, и уравнение составляют именно по ней.

Свежие грибы содержат 90% воды, а сушёные — 15% воды. Сколько килограммов сушёных грибов получится из 34 кг свежих?

Сухого вещества в свежих грибах $34 \cdot 0{,}1 = 3{,}4$ кг. В сушёных оно составляет $100\% - 15\% = 85\%$ массы, поэтому масса сушёных $3{,}4 : 0{,}85 = 4$ кг. Ответ: 4. Типичная ловушка — работать с процентом воды, а не сухого вещества: вода меняется, сухая часть — нет.

Задачи на смеси и сплавы с системой уравнений

Если неизвестны 2 концентрации, нужны 2 условия и система из двух уравнений. Такие сюжеты характерны для профильного ЕГЭ.

Имеются два сосуда с растворами кислоты: 30 кг и 20 кг. Если их смешать, получится раствор с концентрацией 68%. Если смешать равные массы этих растворов, получится раствор с концентрацией 70%. Сколько килограммов кислоты в первом сосуде?

Пусть концентрации $x$ и $y$ (в долях). Первое условие: $30x + 20y = 50 \cdot 0{,}68 = 34$ . Второе: при равных массах $m$ получаем $mx + my = 2m \cdot 0{,}7$ , то есть $x + y = 1{,}4$ . Подставляем $y = 1{,}4 - x$ : $10x + 28 = 34$ , $x = 0{,}6$ , $y = 0{,}8$ . Кислоты в первом сосуде $30 \cdot 0{,}6 = 18$ кг. Ответ: 18. Метод подстановки подробно разобран в теме системы уравнений с двумя переменными.

Как оформить решение по шагам

Чтобы решение читалось однозначно, держитесь 4 шагов — так его легко проверить самому, а в задании 21 ОГЭ — эксперту, который оценивает работу по критериям оценивания ФИПИ.

Шаг 1. Обозначьте неизвестное словами: «пусть $x$ кг — масса первого раствора».
Шаг 2. Для каждого участника запишите массу смеси и массу чистого вещества — удобно в виде строки таблицы.
Шаг 3. Составьте уравнение по веществу, которое сохраняется или складывается, и решите его.
Шаг 4. Проверьте: концентрации лежат между 0 и 100%, массы положительны, итог находится между исходными значениями.

Спецификация ОГЭ относит текстовую задачу к части 2, где проверяется именно ход решения, а не только ответ. В первой части ЕГЭ записывать шаги не нужно, но черновик по той же схеме экономит время на поиск ошибки. Учебник здесь подсказывает простое правило: каждое число в уравнении должно иметь понятный смысл, иначе его не получится объяснить ни себе, ни проверяющему.

Когда этот подход не подходит

Таблица «вещество — смесь — концентрация» работает почти всегда, но есть 3 ситуации, где её стоит заменить другим инструментом.

Если в задаче проценты от цены или зарплаты (подорожание на 20%), это не смесь, а задача на проценты — там нет «массы чистого вещества».
Если раствор многократно разбавляют, например 5 раз отливают и доливают воду, удобнее геометрическая прогрессия, а не таблица на 5 строк.
Если до экзамена базового уровня меньше 2 недель, начните с разбавления водой и смешивания двух растворов: системы уравнений в задании 20 встречаются реже.

Чего делать нельзя

Нельзя считать, что задача решена, пока не проверено, что итоговая концентрация лежит между исходными: это быстрый фильтр почти всех ошибок.

Нельзя складывать проценты разных растворов — складываются только массы.
Нельзя забывать, что добавленное чистое вещество увеличивает и массу смеси.
Не следует составлять уравнение по воде, если её масса меняется: опирайтесь на сухое вещество.
Не следует подставлять проценты в формулу как целые числа: 25% — это $0{,}25$ .
Не стоит писать в бланк знак процента — в ответ идёт только число.
Не допускается в задании 21 ОГЭ приводить «правило креста» без уравнения или пояснения, откуда взялись числа.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Что выдаёт тренажёр на этой странице?

«Тренажёр · № 20 ЕГЭ база» генерирует два сюжета: разбавление раствора соли водой и встречное движение двух туристов. После ответа доступны кнопки «Решение» и «Следующая задача →».

В каком виде записывать концентрацию в бланк?

Если просят ответ в процентах, пишите число без знака: 12, а не 12% и не 0,12. Формат ответа виден в демоверсии ФИПИ^[3]: в бланк вносится только число.

Чем сплав отличается от раствора в задачах?

Ничем, кроме слов. Медь в сплаве играет ту же роль, что соль в растворе, а масса сплава — роль массы раствора. Формулы и таблица одинаковые.

Можно ли решать задачи на смеси и сплавы без уравнения?

Простые — да: разбавление и смешивание известных масс решаются в 2–3 действия. Если неизвестна масса или концентрация, без уравнения обойтись сложно, а в развёрнутом решении оно обязательно.

Почему в задаче про грибы ответ так мал?

Потому что почти вся масса свежих грибов — вода. Сухого вещества всего 3,4 кг, и даже с остаточной влагой масса не превышает 4 кг.

Сколько таких задач нужно решить для уверенности?

Ориентир — по 5–7 задач каждого типа из таблицы выше. Если три задачи подряд решены без ошибок, тип можно считать освоенным и переходить к следующему.