Графики тригонометрических функций: синусоида и тангенсоида

Синусоида: как построить график синуса по пяти точкам

Чтобы нарисовать синусоиду без таблицы на полстраницы, хватает 5 опорных точек на отрезке $[0; 2\pi]$: ноль, вершина, ноль, впадина и снова ноль. Дальше синусоида просто копируется вправо и влево, потому что функция периодическая.

Опорные точки такие: $(0; 0)$, $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$, $(\pi; 0)$, $\left(\frac{3\pi}{2}; -1\right)$, $(2\pi; 0)$. Между ними кривая плавная, без углов: возле нуля она идёт под углом $45^\circ$ к оси, а у вершин становится пологой. Если на единицу по оси $y$ взять две клетки, а $\frac{\pi}{2}$ — три клетки, рисунок получается без перекосов, потому что $\pi \approx 3{,}14$ и шаг почти совпадает с масштабом.

Откуда берётся форма, проще всего понять по тригонометрическому кругу с радианами: синус — ордината точки на единичной окружности. Точка бежит по кругу, её высота растёт от 0 до 1, падает до $-1$ и возвращается. Развернув этот бег вдоль оси $x$, получаем синусоиду. Поэтому период и равен $2\pi$ — длине полного оборота.

Свойства, которые видны прямо на рисунке: область определения — все числа, множество значений — отрезок $[-1; 1]$, функция нечётная (график симметричен относительно начала координат), наибольшее значение 1 достигается в точках $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, наименьшее $-1$ — в точках $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Значения больше 1 синус принимать не может ни при каком $x$.

График косинуса — та же волна со сдвигом на π/2

Косинусоида — это синусоида, сдвинутая на $\frac{\pi}{2}$ влево, потому что $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Форма, размах и период $2\pi$ те же, меняется только расположение нулей и вершин.

Опорные точки косинуса на $[0; 2\pi]$: $(0; 1)$, $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$, $(\pi; -1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}; 0\right)$, $(2\pi; 1)$. Волна начинается с вершины, а не с нуля, — это главное визуальное отличие. Функция чётная: график симметричен относительно оси $y$, и $\cos(-x) = \cos x$.

Отсюда простое правило для задач на чтение графика: если кривая проходит через начало координат, перед вами синус (возможно, растянутый), если в точке $x = 0$ она стоит на вершине — косинус. Нули косинуса — точки $\frac{\pi}{2} + \pi k$, наибольшее значение 1 — в точках $2\pi k$, наименьшее $-1$ — в точках $\pi + 2\pi k$. В школьном учебнике алгебры эту связь синусоиды и косинусоиды выводят из формул приведения, а не из рисунка.

Миф: «синусоида и косинусоида — разные кривые, их форму надо запоминать отдельно». Это неверно: формула приведения $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ показывает, что это одна и та же волна. Отдельной «формы косинуса» не существует — есть только другое положение на оси.

Тангенсоида: ветви и вертикальные асимптоты

График тангенса — это не волна, а бесконечный ряд одинаковых ветвей с периодом $\pi$. Каждая ветвь возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности между двумя вертикальными асимптотами.

Так получается из определения $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$: там, где косинус равен нулю, тангенс не определён. Поэтому прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ — асимптоты, к которым ветви приближаются, но которых не касаются. Учебник Мордковича называет эту кривую тангенсоидой, а прямые — её асимптотами. Центральная ветвь проходит через начало координат и точки $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$ и $\left(-\frac{\pi}{4}; -1\right)$ — их удобно отмечать при построении.

Свойства тангенса: множество значений — все действительные числа, функция нечётная, нули в точках $\pi k$, на каждом интервале $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right)$ она возрастает. Но сказать «тангенс возрастает на всей области определения» нельзя: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$, а $\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4} = -1$, хотя $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{4}$. Возрастание есть только на каждой ветви отдельно.

Период, нули и знаки: сводная таблица

Три графика удобно сравнивать по 5 характеристикам: период, нули, где функция положительна, где отрицательна, где она не определена. Таблица ниже — то, что стоит выписать на карточку и повторять: в учебниках эти сведения разбросаны по разным параграфам.

Везде $k \in \mathbb{Z}$. Обратите внимание: у синуса и тангенса нули совпадают, а промежутки знака у тангенса вдвое короче, потому что короче период. Знаки на одном обороте совпадают со знаками по четвертям круга: синус положителен в I и II четвертях, косинус — в I и IV, тангенс — в I и III.

Промежутки знакопостоянства: разбор задач

Промежуток знакопостоянства — это интервал, на котором функция сохраняет знак, то есть график целиком выше или целиком ниже оси $x$. Границы таких промежутков — нули функции и точки, где она не определена.

Сколько нулей имеет функция $y = \sin x$ на отрезке $[-2\pi; 3\pi]$?

Нули — $x = \pi k$. Решаем двойное неравенство $-2\pi \le \pi k \le 3\pi$, то есть $-2 \le k \le 3$. Целых $k$ шесть: $-2, -1, 0, 1, 2, 3$. Ответ: 6. Проверка по рисунку: на отрезке длиной $5\pi$ помещаются пять «горбов» синусоиды, у которых шесть концов.

На каком промежутке отрезка $[0; 2\pi]$ синус и косинус одновременно отрицательны?

Синус отрицателен на $(\pi; 2\pi)$, косинус — на $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$. Пересечение — интервал $\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$, то есть III четверть. Если наложить два графика, видно, что именно там обе волны лежат ниже оси.

Найдите множество значений функции $y = 2\sin 3x + 1$.

Множитель 3 сжимает график по горизонтали, но не меняет высоту: $-1 \le \sin 3x \le 1$. Умножаем на 2 и прибавляем 1: $-1 \le y \le 3$. Ответ: $[-1; 3]$. Период при этом стал $\frac{2\pi}{3}$.

Не путать: нули функции и корни уравнения $\sin x = a$ при $a \ne 0$ — разные задачи. Второе решается по кругу и формулам, это разобрано в статье тригонометрические уравнения с отбором корней.

Сдвиги и растяжения синусоиды

Функция $y = A\sin(kx + b) + c$ — это синусоида после четырёх преобразований: $|A|$ задаёт размах (амплитуду), $k$ меняет период, $b$ сдвигает график по горизонтали, $c$ — по вертикали.

1. Амплитуда. Множество значений — $[c - |A|; c + |A|]$. При $A = 3$, $c = -1$ это $[-4; 2]$.
2. Период. $T = \frac{2\pi}{|k|}$ для синуса и косинуса, $T = \frac{\pi}{|k|}$ для тангенса. Например, у $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ период $2\pi$, а у $y = \cos 4x$ — $\frac{\pi}{2}$.
3. Горизонтальный сдвиг. Для $\sin(kx + b)$ он равен $-\frac{b}{k}$, а не $-b$: у $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ волна сдвинута на $\frac{\pi}{6}$ вправо.
4. Вертикальный сдвиг. Слагаемое $c$ поднимает среднюю линию волны с оси $x$ на высоту $c$.

Учебник Колмогорова для 10–11 классов^[1] строит такие графики последовательно, по одному преобразованию за шаг, — так меньше ошибок, чем при попытке нарисовать всё сразу. Общие правила сдвигов одинаковы для всех функций, поэтому опыт с параболой здесь полностью переносится.

Где графики тригонометрических функций нужны на экзамене

В ОГЭ графиков синуса и косинуса нет: тригонометрические функции по ФОП среднего общего образования изучают в 10–11 классах. Поэтому синусоида — тема только для ЕГЭ, причём в основном профильного уровня.

В профильном ЕГЭ по проекту спецификации ФИПИ 2027 года^[2] есть задание 12 (в 2026 году — № 11) на графики функций; там нужно уметь определять коэффициенты по рисунку, и знание размаха и шага волны экономит время. Подробно этот номер разобран на странице задание 12 профильного ЕГЭ. Знаки синуса и косинуса пригодятся в задании 8 при вычислении значений выражений, а умение видеть, где волна пересекает горизонтальную прямую, — при отборе корней во второй части. Демонстрационный вариант^[3] не содержит отдельного задания «постройте синусоиду», поэтому учить график стоит как инструмент, а не как самостоятельный номер.

На базовом уровне графики тригонометрических функций не строят, но значения синуса и косинуса встречаются в выражениях. Если нужно быстро вспомнить точные значения, держите под рукой таблицу значений синуса и косинуса.

Задачи с проверкой по графикам

Блок «Задачи с проверкой» под заголовком страницы содержит 8 заданий: количество нулей на отрезке, вертикальные прямые тангенса, шаг повторения волны, наибольшее и наименьшее значение, выбор промежутка знака.

Сначала набросайте график на черновике, отметьте концы отрезка и только потом считайте точки — так ответ не зависит от памяти. После ввода нажмите «Проверить»; если ответ не совпал, кнопка «Решение» покажет разбор, а «Следующая задача →» переключит на новое задание. Задачи идут по кругу, поэтому через день стоит пройти их заново: решение без подсказки запоминается прочнее, чем перечитывание разбора^[4].

Когда график синуса не поможет

График — инструмент для оценки и проверки, но в 4 типичных ситуациях на него нельзя опираться как на единственный довод.

• Если нужно точное значение вроде $\sin 1$, рисунок даёт лишь грубую оценку: 1 радиан примерно $57^\circ$, и «на глаз» ошибка легко достигает 0,1.
• Если в задании 14 профильного ЕГЭ требуется отбор корней, ссылка «видно по графику» без вычислений не засчитывается — нужен рисунок с подписанными точками или двойное неравенство.
• Если отрезок длиннее $10\pi$, то есть больше 31 единицы, рисовать все волны долго; быстрее решить неравенство относительно $k$.
• Если функция задана как $\sin(x^2)$, её волны сжимаются с ростом $x$: на отрезке от 3 до 4 у неё 3 нуля, а на промежутке от 0 до 1 только один, в самом нуле. Картинка с постоянным шагом здесь не подходит.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять рисунку больше, чем формулам: большинство ошибок с тригонометрическими графиками — от неаккуратного масштаба и переноса правил одной функции на другую.

• Нельзя считать, что ветви тангенса повторяются через $2\pi$: на самом деле через $\pi$, и нулей на отрезке выходит вдвое больше.
• Нельзя делить $2\pi$ на $b$ вместо $k$: волна $y = \sin(2x + 5)$ повторяется через $\pi$, сдвиг на это не влияет.
• Не следует соединять соседние ветви тангенса линией: в точках $\frac{\pi}{2} + \pi k$ функция не определена.
• Не следует рисовать волну ломаной с острыми вершинами — по такому рисунку неверно читаются промежутки возрастания.
• Не стоит отмечать на оси $x$ число $\pi$ как 3 клетки при единице в 1 клетку: масштаб «съедает» разницу, и точки $x = 3$ и $x = \pi$ сливаются.
• Не допускается терять концы отрезка: если конец — ноль функции, он тоже считается.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

[5] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

Вопросы и ответы

Чем график синуса отличается от графика косинуса?

Только положением: косинусоида сдвинута на $\frac{\pi}{2}$ влево. Синус в нуле равен 0, косинус — 1, поэтому первая волна начинается из начала координат, а вторая — с вершины.

Почему ветви тангенса повторяются через π, а не через 2π?

Через пол-оборота синус и косинус меняют знак одновременно, и их отношение остаётся прежним: $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x$. Меньшего положительного числа с таким свойством нет — это доказывают в учебнике как теорему о свойствах тангенса.

Как найти период функции вида y = sin kx?

Разделите $2\pi$ на модуль коэффициента при $x$. Для $y = \sin 5x$ период $\frac{2\pi}{5}$, для $y = \cos\frac{x}{3}$ — $6\pi$.

Нужно ли строить такой график на ЕГЭ?

Отдельного задания на построение нет, но набросок помогает проверять знаки и отбирать корни. В решении второй части рисунок принимается как обоснование, если на нём подписаны точки и концы отрезка.

Как запомнить, где синус положителен?

На первом обороте синус положителен от 0 до $\pi$ — это верхняя половина круга. Дальше всё повторяется через $2\pi$. Учебник Мордковича^[5] предлагает связывать каждый знак с четвертью круга, а не заучивать интервалы.

Бывает ли у синуса значение 1,5?

Нет, синус и косинус не выходят за отрезок от $-1$ до $1$. Уравнение $\sin x = 1{,}5$ корней не имеет, а у функции $y = 1{,}5\sin x$ значения уже лежат от $-1{,}5$ до $1{,}5$.