Листы бумаги в ОГЭ: форматы A0–A6, площади и плотность

Q: Где ещё потренировать этот сюжет?

В демоверсии [2] можно посмотреть формат блока 1–5, а задачи по сюжету — в сборниках типовых вариантов под редакцией Ященко [4] и в открытом банке ФИПИ.

Как устроены форматы серии A

Форматы серии A — это система, где самый большой лист A0 имеет площадь 1 м², а каждый следующий формат получается разрезанием предыдущего пополам поперёк длинной стороны. Так A0 даёт два листа A1, A1 — два листа A2 и так далее. Листы бумаги любого формата этой серии подобны друг другу, а площадь каждого следующего вдвое меньше.

Отношение длинной стороны к короткой у всех форматов одинаково и равно $\sqrt2 \approx 1{,}414$ . Именно поэтому при разрезании пополам лист сохраняет форму: половина A4 — это A5, точно подобный исходному прямоугольник, только меньше.

Почему именно $\sqrt2$ ? Пусть стороны листа $a$ и $b$ , $b > a$ , и $\frac{b}{a} = k$ . После разрезания пополам стороны станут $\frac{b}{2}$ и $a$ , а отношение длинной к короткой — $\frac{a}{b/2} = \frac{2}{k}$ . Форма сохраняется, только если $k = \frac{2}{k}$ , то есть $k^2 = 2$ . Это рассуждение о подобных прямоугольниках опирается на материал учебника геометрии Атанасяна^[3]. Отношение сторон не может быть рациональным числом: $\sqrt2$ иррационально, поэтому реальные размеры дают лишь приближение.

Условие примера: листы бумаги и их размеры

В нашем примере размеры листов даны в миллиметрах и округлены до целого миллиметра. Лист A4 — привычный офисный формат 210 × 297 мм. Листы бумаги других форматов в условии тоже заданы размерами, а не только названиями.

Формат	Размер, мм	Площадь (точно, если A0 = 1 м²)	Листов из одного A0
A0	841 × 1189	1 м²	1
A1	594 × 841	$\frac12$ м²	2
A2	420 × 594	$\frac14$ м²	4
A3	297 × 420	$\frac18$ м²	8
A4	210 × 297	$\frac1{16}$ м²	16
A5	148 × 210	$\frac1{32}$ м²	32
A6	105 × 148	$\frac1{64}$ м²	64

Текст условия. Листы бумаги формата A0 имеют форму прямоугольника площадью 1 м², отношение большей стороны к меньшей примерно равно $\sqrt2$ . Лист A1 получают, разрезав A0 пополам по линии, параллельной меньшей стороне; так же из A1 получают A2 и далее. Размеры листов округляют до целого числа миллиметров.

Заметьте закономерность в таблице: длинная сторона следующего формата равна короткой стороне предыдущего, а короткая — половине длинной. При делении пополам доли миллиметра отбрасывают: $1189 : 2 = 594{,}5$ , а в таблице 594; $297 : 2 = 148{,}5$ , а в таблице 148.

Задание 1: какой формат какого размера

Первое задание — это соответствие форматов и размеров: в условии даётся перемешанный список размеров, и нужно указать номер для каждого формата.

Размеры листов: 1) 148 × 210; 2) 297 × 420; 3) 105 × 148; 4) 594 × 841; 5) 420 × 594; 6) 841 × 1189. Для форматов A1, A3, A5, A6 укажите номера размеров. Ответ запишите последовательностью цифр.

Опорная точка — A4, 210 × 297. Сторона 297 у A3 становится короткой: A3 = 297 × 420 (номер 2). Сторона 210 у A5 становится длинной: A5 = 148 × 210 (1). Дальше A6 = 105 × 148 (3). A1 — второй по величине лист, 594 × 841 (4). Ответ: 4213. Каждый номер в таком ответе может встретиться не более одного раза — если цифра повторилась, ошибка в соответствии. Демоверсия ФИПИ задаёт такие ответы последовательностью цифр без пробелов.

Если A4 не запомнился, начните с A0: самый большой лист 841 × 1189, дальше двигайтесь вниз по цепочке «длинная сторона следующего = короткая сторона предыдущего».

Задание 2: сколько листов получится при разрезании

Второе задание — это счёт листов: каждый шаг к следующему номеру формата удваивает их количество, поэтому ответ — степень двойки.

Сколько листов формата A6 можно получить из одного листа формата A2?

От A2 до A6 четыре шага: A2 → A3 → A4 → A5 → A6. Каждый шаг удваивает число листов: $2^{6-2} = 2^4 = 16$ . Ответ: 16. Листы бумаги при таком разрезании не теряются: суммарная площадь 16 листов A6 равна площади одного A2.

Общее правило: из одного листа A $m$ получается $2^{n-m}$ листов A $n$ , где $n > m$ . Кодификатор ФИПИ относит работу со степенями к обязательным элементам содержания 7–9 классов. Ошибка «8» возникает, если насчитать три шага вместо четырёх: шаги считают как разность номеров $6 - 2 = 4$ . Проверьте на коротком примере: из A4 получается 2 листа A5, а не 1. О степенях подробнее — в материале свойства степеней с целым показателем.

Задание 3: площадь листа

Третье задание — это площадь листа: по размерам из таблицы или через деление площади A0 пополам. Ответы этих способов немного различаются, и условие всегда говорит, каким пользоваться.

Найдите площадь листа формата A3 в квадратных сантиметрах по его размерам.

Переводим в сантиметры: 297 мм = 29,7 см, 420 мм = 42 см. Площадь $29{,}7 \cdot 42 = 1247{,}4$ см². Ответ: 1247,4. Площадь листа — произведение сторон, это следует из формулы площади прямоугольника, которую в учебнике выводят ещё в 8 классе.

Если же условие говорит «считайте площадь A0 равной 1 м²», то A3 — это $\frac18$ м² = 1250 см². Разница в 2,6 см² появилась из-за округления размеров до миллиметра. Поэтому внимательно читайте, какую площадь просят: по размерам или по определению формата. Единицы площади легко перепутать: 1 м² = 10 000 см², а не 100 см² — этот перевод подробно разобран в статье единицы измерения: длина, площадь, объём.

Миф: «площадь листа A4 — ровно 625 см², раз A0 — ровно 1 м²». По размерам это неверно: $21 \cdot 29{,}7 = 623{,}7$ см². Точных 625 см² не бывает у реального листа, потому что размеры округлены до миллиметра.

Задание 4: отношение сторон и масштаб

Четвёртое задание — это отношение сторон или коэффициент увеличения при копировании: оно близко к $\sqrt2$ , и ответ обычно просят округлить.

Найдите отношение длинной стороны листа A4 к короткой. Ответ округлите до сотых.

$\frac{297}{210} = \frac{99}{70} \approx 1{,}414.$

Ответ: 1,41. Дробь удобно сократить на 3, а потом делить столбиком: $99 : 70 = 1{,}414\ldots$ Цифра тысячных 4, значит, округляем вниз. Число совпадает с $\sqrt2 \approx 1{,}414$ до третьего знака. Теорема Пифагора даёт ту же величину как диагональ квадрата со стороной 1, поэтому $\sqrt2$ удобно запомнить.

Близкий вопрос — во сколько раз увеличится текст при копировании с A4 на A3. Линейные размеры растут в $\frac{420}{297} \approx 1{,}41$ раза, а площадь — ровно в 2 раза. Путать коэффициент для длины и для площади нельзя: это частая ошибка, разобранная в теме подобие и отношение площадей.

Задание 5: плотность и масса пачки

Пятое задание — это масса бумаги по плотности: плотность в граммах на квадратный метр показывает, сколько весит 1 м² бумаги, то есть один лист A0.

Для печати буклетов купили 4 пачки бумаги формата A4 по 500 листов, плотность бумаги 80 г/м². Считая площадь A0 равной 1 м², найдите массу всей бумаги в килограммах.

Лист A4 — это $\frac{1}{16}$ м², его масса $80 : 16 = 5$ г. Листов $4 \cdot 500 = 2000$ , масса $2000 \cdot 5 = 10\,000$ г = 10 кг. Ответ: 10. Спецификация ФИПИ относит такие задачи к базовому уровню: достаточно деления и умножения.

Удобная проверка: 2000 листов A4 по площади равны $2000 : 16 = 125$ листам A0, то есть 125 м². Умножаем на 80 г/м² — те же 10 000 г. Если в вопросе спрашивают массу в килограммах, ответ в граммах не засчитывается: перевод единиц — часть задачи.

Задачи с проверкой: листы бумаги

В начале страницы — блок «Задачи с проверкой»: 7 задач про листы бумаги из нашей таблицы — соответствие форматов, разрезание, площадь A0, масштаб букв при копировании, масса листа и отношение сторон.

Решайте в черновике, вводите ответ в поле «Ответ» и нажимайте «Проверить». «Решение» откроет разбор, «Следующая задача →» — следующую, задачи повторяются по кругу. Дробную часть отделяйте запятой.

Где ошибаются чаще всего

В этом сюжете 5 повторяющихся ошибок, и почти все связаны с направлением счёта или единицами.

Направление нумерации. Считают, что A6 больше A2, хотя чем больше номер, тем меньше прямоугольник.
Число шагов. От A2 до A6 четыре разрезания, а не пять и не три.
Площадь и длина. При переходе на соседний номер площадь меняется в 2 раза, а стороны — примерно в 1,41 раза.
Перевод см² в м². Делят на 100 вместо 10 000.
Не тот способ. Считают площадь по определению, когда просят по размерам, и наоборот. Такое решение не засчитывается, даже если арифметика верна.

Когда этот разбор не поможет

Если базовые темы не освоены, разбор одного примера не даст 5 баллов: сюжет опирается на степени, единицы и округление.

Если степени двойки до $2^6 = 64$ не вспоминаются сразу, выучите их — без этого задание 2 займёт 5 минут вместо одной.
Если перевод 1 м² в 10 000 см² вызывает сомнения, сначала потренируйте единицы площади на 10 примерах.
Если деление столбиком до тысячных занимает больше 3 минут, задание 4 стоит отложить на конец.
Если в варианте другая серия, где самый большой лист не 1 м², принцип деления пополам тот же, но числа будут другими — берите их только из условия.

Чего делать нельзя

Не следует полагаться на память о размерах: все нужные числа даны в условии, и ответ считают только по ним.

Нельзя умножать миллиметры на сантиметры при подсчёте площади — сначала одинаковые единицы.
Нельзя округлять отношение сторон раньше времени: $1{,}4$ вместо $1{,}414$ даст неверные сотые.
Не следует путать «во сколько раз больше площадь» и «во сколько раз больше сторона».
Не стоит записывать ответ в граммах, если вопрос задан в килограммах.
Не допускается писать в бланк «A3» или «16 листов» — только число.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Листы бумаги: нужно ли знать размеры наизусть?

Нет: размеры или правило их получения всегда даны в условии. Полезно помнить только A4 = 210 × 297 мм — от него легко восстановить соседние размеры.

Сколько баллов даёт этот сюжет?

До 5 первичных баллов, по одному за задание. По спецификации ФИПИ^[1] все задания первой части оцениваются одинаково, независимо от сюжета.

Почему площадь по размерам не равна 1/16 м²?

Потому что размеры округлены до миллиметра. A4 по размерам — 623,7 см², а по определению — 625 см². Условие подсказывает, какой из способов использовать.

Что такое плотность бумаги?

Это масса одного квадратного метра материала в граммах. Для офисной печати обычно берут 80 г/м²: квадратный метр весит 80 г, а A4 — 5 г.

Бывают ли в сюжете задачи на проценты?

Да, например: на сколько процентов площадь A3 больше площади A4. Ответ — 100%, потому что площадь A3 ровно вдвое больше.

Где ещё потренировать этот сюжет?

В демоверсии^[2] можно посмотреть формат блока 1–5, а задачи по сюжету — в сборниках типовых вариантов под редакцией Ященко^[4] и в открытом банке ФИПИ.